Partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Fr 27.02.2009 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Sei $ f: (x,y) [mm] \rightarrow [/mm] f(x,y)$ eine stetig differenzierbare Funktion. Drücken Sie das Resultat von
[mm] $\bruch{d}{dt} f(\integral_{t}^{2t} [/mm] k² [mm] e^k² [/mm] , [mm] dk,t²e^t)$
[/mm]
durch die partielle Ableitungen $ [mm] f_x$ [/mm] und [mm] $f_y [/mm] $ der Funktion f aus.
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Also ich weiß,dass die Funktion f(x,y) aus [mm] $x=\integral_{t}^{2t} [/mm] k² [mm] e^k^2, [/mm] dk$ und $ [mm] y=t²e^t$ [/mm] besteht, aber wie schreib ich das dann,
also f(x,y)=...?
Dann habe ich gedacht muss ich hier die verallgemeinerte Kettenregel verwenden:
[mm] $\bruch{d}{dt} [/mm] f(x(t),y(t))= [mm] f_x(x(t),y(t))*x'(t)+ f_y(x(t),y(t))*y'(t)$
[/mm]
Ich habe für $ [mm] x(t)=\bruch{1}{4}(e^{2t}- e^t) [/mm] und für [mm] y(t)=t²e^t [/mm] und als Ableitungen
[mm] x'(t)=\bruch{1}{2} e^{2t} -\bruch{1}{4} e^t
[/mm]
[mm] y'(t)=e^t(t²+2t)$
[/mm]
raus.
stimmt das bis hier hin?
Danke für die hilfe und glg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Fr 27.02.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]f: (x,y) \rightarrow f(x,y)[/mm] eine stetig
> differenzierbare Funktion.
Ich nehme an die bildet nach [mm] $\IR$ [/mm] ab... sollte man vielleicht mal erwähnen.
> Also ich weiß,dass die Funktion f(x,y) aus
> [mm]x=\integral_{t}^{2t} k² e^k^2, dk[/mm] und [mm]y=t²e^t[/mm] besteht, aber
> wie schreib ich das dann,
> also f(x,y)=...?
Verstehe die Frage nicht.
> Dann habe ich gedacht muss ich hier die verallgemeinerte
> Kettenregel verwenden:
> [mm]\bruch{d}{dt} f(x(t),y(t))= f_x(x(t),y(t))*x'(t)+ f_y(x(t),y(t))*y'(t)[/mm]
Richtig.
> Ich habe für $ [mm]x(t)=\bruch{1}{4}(e^{2t}- e^t)[/mm] und für [mm]y(t)=t²e^t[/mm]
Wie kommst du denn darauf?
> und als Ableitungen
> [mm]x'(t)=\bruch{1}{2} e^{2t} -\bruch{1}{4} e^t[/mm]
Das stimmt auch nicht, wenn ich dein (falsches) x(t) zugrunde lege: [mm] $\frac{d}{dt}1/2e^{2t}=e^{2t}$.
[/mm]
> [mm]y'(t)=e^t(t²+2t)$[/mm] raus.
Ok.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 01.03.2009 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | | Sei f:(x,y) [mm] $\rightarrow [/mm] f(x,y)$ eine stetige Funktion. Drücken Sie das Resultat von $ [mm] \bruch{d}{dt}f(\integral_{t}^{2t} k²{e^k}^{2}, [/mm] dk, [mm] t²e^t)$ [/mm] durch die partiellen Ableitungen [mm] $f_x$ [/mm] und [mm] $f_y$ [/mm] der Funktion f aus. |
Ok, also jetzt hab ich dann doch keinen plan mehr wie man das rechnet, könnte mir bitte jemand eine "Anleitung" oder sowas schreiben bzw. ausführliche Tipps geben.
Vielen lieben dank jetzt schon 
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Hallo ohlala,
> Sei f:(x,y) [mm]\rightarrow f(x,y)[/mm] eine stetige Funktion.
> Drücken Sie das Resultat von
> [mm]\bruch{d}{dt}f(\integral_{t}^{2t} k²{e^k}^{2}, dk, t²e^t)[/mm]
> durch die partiellen Ableitungen [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] der Funktion f
> aus.
> Ok, also jetzt hab ich dann doch keinen plan mehr wie man
> das rechnet, könnte mir bitte jemand eine "Anleitung" oder
> sowas schreiben bzw. ausführliche Tipps geben.
Nach der Leibniz'schen Differentiationsformel ergibt sich:
[mm]\bruch{d}{dt}\left(\integral_{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{g\left(k,t\right) \ dk}\right)=\integral_{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\bruch{\partial g\left(k,t\right)}{\partial t} \ dk}+\bruch{db\left(t\right)}{dt}*g\left(\ b\left(t\right),t \ \right)-\bruch{da\left(t\right)}{dt}*g\left(\ a\left(t\right),t \ \right)[/mm]
>
> Vielen lieben dank jetzt schon
Gruß
MathePower
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