Partielle Ableitungen u.a. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dirk80 |
Hallo! Dies ist mein erster Beitrag hier - echt eine klasse Community!
Also, ich schreibe in zwei Tagen eine Mathe-Klausur, und habe leider noch ein paar Defizite, v.a. im Infini-Teil ;)
Insgesamt sind es eigentlich drei Aufgaben/Fragen, auf die ich keine Antwort finde! Da ich ungerne drei Beiträge eröffnen möchte, schreibe ich das wichtigste in den betreff und stelle die anderen trotzdem.
1.] Ich verstehe nicht, wie man partielle Ableitungen bildet! Leider wurde das Thema nur sehr kurz angeschnitten, ist aber Klausurrelevant!
Eine Aufgabe dazu lautet z.B.:
"An welchen Stellen besitzt die folgende Funktion waagerechte Tangenten?"
(x,y) [mm] \to [/mm] z = [mm] x^{2} [/mm] - 6xy + [mm] y^{3} [/mm] + 3x + 6y
Ich verstehe einfach nicht, wie ich an das Problem rangehen soll... Die Suche gibt mir nur spezielle Probleme aus, aber da ich nicht mal die Basics beherrsche, bitte ich Euch, mir vielleicht anhand dieses Beispieles zu erklären, wie man solche Aufgaben löst...
2.] Ich hänge bei dem Problem, eine Stammfunktion für die Integralrechung zu der Funktion [mm] x^{-1} [/mm] zu finden...
3.] Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] 2*e^{-x^{2}}
[/mm]
Sind folgende Ableitungen richtig?:
f'(x) = [mm] -4x*e^{-x{2}}
[/mm]
f''(x) = [mm] (-4+8x)*e^{-x^{2}}
[/mm]
Vor allem bei f''(x) habe ich so meine Zweifel...
Vielen Dank schonmal für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dirk80 |
Danke! Bei der 2. Ableitung war es leider ein "Flüchtigkeitsfehler", der aber nicht mehr vorkommen wird! Mit der Stammfunktion kann ich die zugehörige Aufgabe nun weiterbearbeiten ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> 1.] Ich verstehe nicht, wie man partielle Ableitungen
> bildet! Leider wurde das Thema nur sehr kurz angeschnitten,
> ist aber Klausurrelevant!
>
> Eine Aufgabe dazu lautet z.B.:
>
> "An welchen Stellen besitzt die folgende Funktion
> waagerechte Tangenten?"
>
> (x,y) [mm]\to[/mm] z = [mm]x^{2}[/mm] - 6xy + [mm]y^{3}[/mm] + 3x + 6y
>
> Ich verstehe einfach nicht, wie ich an das Problem rangehen
> soll... Die Suche gibt mir nur spezielle Probleme aus, aber
> da ich nicht mal die Basics beherrsche, bitte ich Euch, mir
> vielleicht anhand dieses Beispieles zu erklären, wie man
> solche Aufgaben löst...
partiell ableiten heisst, dass du in diesem Fall den Term [mm]x^{2} - 6xy + y^{3} + 3x + 6y [/mm] zuerst nach x ableiten musst (dabei behandelst du y wie eine Konstante, das gibt dir den x-Anteil des Gradienten, dann leitest du [mm]x^{2} - 6xy + y^{3} + 3x + 6y [/mm] nach y ab (und behandelst x wie eine Konstante) das ist dann der y-Anteil des Gradienten.
Waagrechte Ebenen-"Tangenten" liegen dann in jenen Punkten vor, in denen der Gradient dem Nullvektor (0,0) entspricht.
was bekommst du raus fuer den Gradienten?
lG
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dirk80 |
Hallo Peter!
Also, ich habe es jetzt mal versucht, bin mir aber völlig unsicher... Bei dem -6xy Teil muss ich also bei der Ableitung nach x das y stehen lassen, da es ja als Konstante gesehen wird, die man mit 6 multiplieren müsste, oder?
1. Partielle Ableitung
-> nach x abgeleitet
2x -6y +3
-> nach y abgeleitet
-6x +3y² +6
2. Partielle Ableitung
-> nach x abgeleitet
2
-> nach y abgeleitet
6y
Bedeutet die Fragestellung also, dass ich die Funktion auf Extremwerte untersuchen soll, richtig? Dann verstehe ich aber nicht, wie ich das mit den zwei 1. und den beiden 2. Ableitungen anstellen soll... Ich weiss nur bei Extremwertaufgaben f'(x)=0 und zur f''(x)< bzw. > 0 -> Max. bzw. Min.
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Hallo.
Du willst also diese Funktion
[mm] $f:\IR^2\to\IR:(x,y) \mapsto [/mm] f(x,y): = [mm] x^{2} [/mm] - 6xy + [mm] y^{3} [/mm] + 3x + 6y $
partiell ableiten.
Dann bekommst Du in den ersten Ableitungen:
[mm] $\partial_1f(x,y)=2x-6y+3$, [/mm] sowie
[mm] $\partial_2f(x,y)=3y^2-6x+6$, [/mm] also stimmen deine Ergebnisse. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bei den zweiten partiellen Ableitungen erhältst Du jetzt aber 3 bzw. 4 Ergebnisse, denn: Du kannst ja [mm] \partial_1f [/mm] nach x oder nach y ableiten, und [mm] \partial_2f [/mm] genauso.
Macht also insgesamt 4 Ableitungen.
Falls allerdings $f$, (was es hier ist), zweimal stetig differenzierbar sein sollte, so sind die partiellen Ableitungen miteinander vertauschbar, d.h. es gilt: [mm] $\partial_1\partial_2f=\partial_2\partial_1f$
[/mm]
Rechnen wir das einfach mal nach:
[mm] $\partial_1\partial_2f(x,y)=\partial_1(3y^2-6x+6)=-6$
[/mm]
[mm] $\partial_2\partial_1f(x,y)=\partial_2(2x-6y+3)=-6$, [/mm] stimmt also...
[mm] $\partial_2\partial_2f(x,y)=\partial_2(3y^2-6x+6)=6y$
[/mm]
[mm] $\partial_1\partial_1f(x,y)=\partial_1(2x-6y+3)=2$.
[/mm]
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 So 26.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
passt.
jetz hast du
[mm] f'(x,y)= \vektor{2x - 6y + 3 \\ -6x + 3y^2 + 6} [/mm]
um die Extremstellen zu ermitteln musst du wie gesagt [mm] f'(x,y) = \vektor{0 \\ 0} [/mm] setzen
also
[mm] \vektor{2x - 6y + 3 \\ -6x + 3y^2 + 6} = \vektor{0 \\ 0}[/mm]
du hast also 2 homogene Gleichungen, die du loesen musst. Du bekommst ein paar (x,y) Paare, die du noch mit f'' ueberpruefen musst - aber das kennst du ja eh schon von Funktionen, die nur 1 Parameter haben.
lG
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 26.06.2005 | | Autor: | Dirk80 |
Danke Euch beiden! Aber muss ich denn die 4 Ableitungen bilden, um die Extrempunkte zu errechnen? Ich habe es jetzt mal so probiert:
f'(x) = 2x-6y+3
f'(y) = -6x + 3y² + 6
f''(x) = 2
f''(y) = 6y
f'(x) = 0 = 2x-6y+3
-2x = -6y+3 |*3
-6x = -18y+9
f'(y) = 0 = -6x+3y²+6
0 = -18y+9+3y²+6
0 = 3y²-18y+15 |:3
0 = y²-6y + 5
mit der pq-Formel bekomme ich dann [mm] y_{1}=5 [/mm] und [mm] y_{2}=1
[/mm]
Die setzte ich nun in f'(x) ein:
-2x = -6*5+3
x=13,5
-2x = -6*1+3
x=1,5
Also bekomme ich P(13,5|5) sowie P(1,5|1) als mögliche Extrempunkte, oder?
Aber womit muss ich die jetzt überprüfen?
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Hi Dirk,
hier das Extremalwert-Kochrezept:
(1) immer die Ableitungen 1. und 2. Ordnung bestimmen
(2) Arbeitspunkte durch setzen von [mm] z_{x}=0 [/mm] und [mm] z_{y}=0 [/mm]
sowie auflösen bestimmen.
(3) [mm] P_{n}(x,y) [/mm] in die zweiten Ableitungen einsetzen und
die Werte ermitteln.
(4) [mm] \Delta z^{2}_{xy}=z_{xx}(P(x,y))*z_{yy}(P(x,y))-z_{xy}^{2}(P(x,y))
[/mm]
bilden --> Ergebnis größer Null = Extremwert & Ergebnis kleiner Null = Sattelpunkt
(5) Liegt kein Sattelpunkt, sondern ein Extremwert vor so bestimmt man
an [mm] z_{xx}(P(x,y)) [/mm] ob es ein Minimum (>0) oder ein Maximum (<0) ist.
(6) Die ermittelten Punkte immer als P(x,y,z) angeben. z also nochmal
durch einsetzen in die Ausgangsgleichung ermitteln.
Grüße kruder77
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 26.06.2005 | | Autor: | Dirk80 |
Danke für das Schema! Bisher habe ich ja alles verstande, aber wir haben bei uns irgendwie eine andere Schreibweise, deswegen komme ich mit der weiteren Berechung nicht weiter...
Hier nochmal die Lösung mit "unserer" Schreibweise, soweit wie ich bis jetzt gekommen bin:
z = x²-6xy+y³+3x+6y
[mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] = 2x - 6y + 3
[mm] \bruch{\partial z}{\partial y} [/mm] = -6x + 3y² + 6
[mm] \bruch{\partial^{2} z}{\partial x} [/mm] = 2
[mm] \bruch{\partial^{2} z}{\partial y} [/mm] = 6y
Als Arbeitspunkte habe ich [mm] P_{1}=(13,5 [/mm] | 5) sowie [mm] P_{2}=(1,5 [/mm] | 1) gefunden (siehe vorheriger Beitrag)
Die Punkte soll ich jetzt in [mm] \bruch{\partial^{2} z}{\partial x} [/mm] = 2 bzw. [mm] \bruch{\partial^{2} z}{\partial y} [/mm] = 6y einsetzen?
In meinen Unterlagen steht der folgende Satz:
[mm] \bruch{\partial^{2} z}{\partial x} [/mm] * [mm] \bruch{\partial^{2} z}{\partial y} [/mm] - [mm] \bruch{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} [/mm] > 0 , was ja deinem 4. Punkt entspricht. Aber wie ermittel ich [mm] \bruch{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} [/mm] und was bedeutet das?
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Hallo!
Ich hoffe, ich kann dir auch helfen, wenn ich nicht die ganze bisherige Aufgabe durchgelesen habe...
> z = x²-6xy+y³+3x+6y
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] = 2x - 6y + 3
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm] = -6x + 3y² + 6
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} z}{\partial x}[/mm] = 2
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} z}{\partial y}[/mm] = 6y
> [mm]\bruch{\partial^{2} z}{\partial x}[/mm] * [mm]\bruch{\partial^{2} z}{\partial y}[/mm]
> - [mm]\bruch{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}[/mm] > 0 , was
> ja deinem 4. Punkt entspricht. Aber wie ermittel ich
> [mm]\bruch{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}[/mm] und was
> bedeutet das?
Also, du willst nur wissen, was das letzte hier bedeutet? Das bedeutet, dass du die Funktion z einmal nach x und einmal nach y ableitest. Ich glaube, so wie es hier steht, wird es zuerst nach x und dann nach y abgeleitet, bin mir aber nicht sicher. Aber unter gewissen Voraussetzungen, die ich natürlich leider im Moment auch nicht weiß *schäm* ist es sowieso egal, ob du zuerst nach x und dann nach y oder umgekehrt ableitest.
Also, die Ableitung von z nach x hast du ja schon ausgerechnet, und das Ergebnis musst du jetzt noch nach y ableiten (oder du probierst es mit der Ableitung nach y und leitest es dann nach x ab - wenn das Gleiche rauskommt, dann war die Reihenfolge egal  ).
Ich hoffe, das hilft dir weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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hi dirk,
also deine punkte: [mm] P_{1}(\bruch{27}{2};5) [/mm] und [mm] P_{2}(\bruch{3}{2};1) [/mm] habe ich auch erhalten.
diese nimmst du nun und setzt sie in [mm] z_{xx} [/mm] , [mm] z_{yy} [/mm] und [mm] z_{xy} [/mm] (wobei wie christiane schon richtig sagte beim letztern die reihenfolge laut dem satz von schwarz egal ist...)
also bekommst du beim part. ableiten:
[mm] z_{xx}=2 [/mm] , [mm] z_{yy}=6y, z_{xy} [/mm] = -6 [mm] z_{yx} [/mm] = -6
dann für
[mm] P_{1}: z_{xx}=2 [/mm] , [mm] z_{yy}=30 [/mm] , [mm] z_{xy} [/mm] = -6 [mm] z_{yx} [/mm] = -6 [mm] \Rightarrow \Delta z_{x,y}^{2}= [/mm] 2*30 - [mm] (-6)^{2}=24 [/mm] >0=Min weil [mm] z_{xx}=2>0 [/mm] ist.
[mm] P_{2}: z_{xx}=2 [/mm] , [mm] z_{yy}= [/mm] 6 , [mm] z_{xy} [/mm] = -6 [mm] z_{yx} [/mm] = -6 [mm] \Rightarrow \Delta z_{x,y}^{2}= 2*6-(-6)^{2}= [/mm] -24<0 =Sattelpunkt
du hast also in [mm] P_{1}(\bruch{27}{2};5; \bruch{-109}{4}) [/mm] ein Minimum und in [mm] P_{2}(\bruch{3}{2};1; \bruch{19}{4}) [/mm] einen Sattelpunkt vorliegen
(ich hoffe du kannst es trotz meiner "anderen" schreibweise nachvollziehen!?)
Gruß kruder77
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 26.06.2005 | | Autor: | Dirk80 |
Super! Vielen Dank an alle - hab' gerade nochmal alles durchgerechnet und verstehe jetzt diesen Aufgabentyp!!!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Produktregel