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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:11 Mi 26.09.2012 | | Autor: | kappen |
Hi Leute!
Ich habe eine Frage zu der Orthogonalitätsrelation bei Sturm–Liouville Problemen. Ausgangslage ist folgende pDGL:
[mm] $\frac{\partial^4 y(x,t)}{\partial x^4}+\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}=0$
[/mm]
Diese kann per Separationsansatz gesplittet werden, die entstehenden gewöhnlichen DGL wurden allgemein gelöst:
[mm] $y(x,t)=\sum_{j=1}^{N}\Phi_{j}(x)T_{j}(t)$
[/mm]
Die Konstante wird hier k genannt..
[mm] $T(t)=A\exp{(\mathrm{i}\sqrt{k})}$
[/mm]
[mm] $\Phi(x)=c_1*\sin(\sqrt[4]{k}x)+c_2*\cos(\sqrt[4]{k}x)+c_3\sinh(\sqrt[4]{k}x)+c_4\cosh(\sqrt[4]{k}x)$
[/mm]
Mit Hilfe der beiden Randbedingungen $y(0,t)=y'(0,t)=0$ folgt [mm] $c_3=-c_1$ [/mm] und [mm] $c_4=-c_2$.
[/mm]
komplizierter werden die anderen beiden Randbedingungen, die nach einiger Umformarbeit so aussehen (L ist der rechte Rand)
[mm] $R1:=\left(\Phi''(x)-k\Phi'(x)-k\Phi(x)\right)\right|_{x=L}=0$ [/mm] und [mm] $R2:=\left(\Phi'''(x)-k\Phi'(x)-k\Phi(x)\right)\right|_{x=L}=0$
[/mm]
Soweit, so gut. Ich kann in die Randbedingungen den Ansatz einsetzen, die beiden übrig bleibenden Konstanten ausklammern und ein homogenes Gleichungssystem erstellen:
[mm] $\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}$
[/mm]
Die Matrix ist singulär, und damit existieren nicht triviale Lösungen, wenn die Determinante 0 ist. Aus dieser (ziemlich komplizierten und deshalb hier nicht hingeschriebenen) Gleichung kann ich numerisch die Eigenfrequenzen bestimmen.
[mm] $c_2$ [/mm] kann ich noch als [mm] $-\frac{a_{11}}{a_{12}}c_1$ [/mm] darstellen.
Das große Problem ist die letzte Konstante c1. Setze ich [mm] $c_2$ [/mm] in A ein, ist c4 nicht mehr analytisch bestimmbar.
Bei einer Wellengleichung mit komplizierteren Randbedingungen habe ich gesehen, dass mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation das Randwertproblem in Eigenfunktionen entwickelt werden kann. Allerdings habe ich das Verfahren noch nicht wirklich verstanden und habe einige Fragen:
- Gilt die Orthogonalitätsrelation hier überhaupt? In den Skripten werden meistens nur Sturm–Liouville Probleme behandelt. Soweit ich das verstanden habe sind das aber DGLen zweiter Ordnung, oder? Hier ist eine vierter Ordnung.
- Angenommen die Relation gilt; Wie ist dann die Vorgehensweise? Kann ich den fehlenden Parameter [mm] $c_4$ [/mm] darüber bestimmen?
Mein Vorschlag wäre, eine der Randbedingungen (oder beide?) in Eigenfunktionen zu entwickeln ... ist das hier möglich?
- Noch ne ganz blöde Frage: zu dieser Aufgabe sind keine Anfangswerte gestellt; Geht das überhaupt? Wie bestimme ich denn dann A?
Ich bin leider mit der Theorie von pDGLen noch nicht wirklich vertraut, aber würde natürlich schon gerne verstehen, was ich da überhaupt mache.
Vielen Dank im Voraus,
kappen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 30.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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