Partielle Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f: [mm] \IR^3 \to \IR^2, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto \vektor{z+sinx \\ y^2cos(yz^2)}
[/mm]
a)Zeigen Sie, dass f auf [mm] \IR [/mm] partiell differenzierbar ist, und berechnen Sie die partiellen Ableitungen.
b)An welchen Stellen (x,y) [mm] \in \IR [/mm] ist f total differenzierbar? Wie lautet dort die totale Ableitung von f? |
Hi Leute, also hab bis jetzt folgendes ausgerechnet: [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\vektor{cosx \\ 0}, \bruch{\partial f}{\partial y}=\vektor{0 \\ 2ycos(yz^2)-y^2z^2sin(yz^2)}, \bruch{\partial f}{\partial z}=\vektor{1 \\ cos(yz^2)-2y^3zsin(yz^2)}. [/mm] Hoffe das ist richtig^^ habe ich jetzt damit gleichzeitig gezeigt, dass f auf [mm] \IR [/mm] partiell diff'bar ist?:O
Gruß David
|
|
| |
|
> Betrachten Sie die Funktion f: [mm]\IR^3 \to \IR^2,[/mm] (x,y,z)
> [mm]\mapsto \vektor{z+sinx \\ y^2cos(yz^2)}[/mm]
> a)Zeigen Sie, dass
> f auf [mm]\IR[/mm] partiell differenzierbar ist, und berechnen Sie
> die partiellen Ableitungen.
> b)An welchen Stellen (x,y) [mm]\in \IR[/mm] ist f total
> differenzierbar? Wie lautet dort die totale Ableitung von
> f?
> Hi Leute, also hab bis jetzt folgendes ausgerechnet:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\vektor{cosx \\ 0}, \bruch{\partial f}{\partial y}=\vektor{0 \\ 2ycos(y\,z^2)-y^2z^2sin(y\,z^2)}, \bruch{\partial f}{\partial z}=\vektor{1 \\ \red{cos(y\,z^2)}-2y^3z\,sin(y\,z^2)}.[/mm]
> Hoffe das ist richtig
[mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] sind richtig, [mm] f_z [/mm] nicht !
> habe ich jetzt damit gleichzeitig
> gezeigt, dass f auf [mm]\IR[/mm] partiell diff'bar ist?
Ich finde, ja . Allerdings nicht auf [mm] \IR, [/mm] sondern auf [mm] \IR^3,
[/mm]
und nach allen 3 Variablen.
Wenn man die partiellen Ableitungen korrekt herleitet
und diese überall definiert sind, ist die Ableitbarkeit
offensichtlich.
Im vorliegenden Fall hätte man die Ableitbarkeit auch
schon vor jeder Rechnung sehen können, weil nur
überall ableitbare Grundfunktionen in für das Ableiten
(mittels der üblichen Ableitungsregeln) unproblema-
tischen Verbindungen vorkommen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
lso du meinst es reicht hinzuschreiben, dass f als Komposition diff'barer Funktionen partiell diff'bar ist?
Gruß David
|
|
|
| |
|
> lso du meinst es reicht hinzuschreiben, dass f als
> Komposition diff'barer Funktionen partiell diff'bar ist?
> Gruß David
Ich weiß nicht, welche Art von Nachweis bei euch von
der "Obrigkeit" verlangt wird ...
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
Nagut und wie überprüfe ich jetzt, dass f total diff'bar ist?
Gruß David
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Di 08.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Die partiellen Ableitungen nach allen Variablen sind vorhanden und stetig !
Dann besagt ein Satz: die Funktion ist total differenzierbar.
FRED
|
|
|
|
