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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Gegeben sei das Integral:
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{(sin(x))^{n} dx}
[/mm]
Zeigen Sie mithilfer partielle r Integration die Rekursion für n [mm] \ge [/mm] 2:
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n - 1}{n}*I_{n-2} [/mm] |
[mm] \integral_{0}^{\pi}{(sin(x))^{n} dx} [/mm] = -cos(x) * [mm] (sin(x))^{n-1} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x) * (sin(x))^{n-2}*(n-1)}
[/mm]
Ich weiß nicht recht, wie ich so auf die Rekursion kommen soll. Das [mm] (sin(x))^{n-2} [/mm] ist ja immerhin schonmal mein [mm] I_{n-2}, [/mm] aber ich kann auf die Art und Weise ja nie den cos aus dem Integral bekommen.
Ich dachte ich könnte vlt f' und g so wählen, dass ich dann später im Integral sin(x) * [mm] sin(x)^{n-1} [/mm] hab, und ich das dann subtrahieren kann, aber das scheint auch nicht zu funktionieren...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
vervollständige bzw. korrigiere mal Folgendes :
1. im ersten Summanden die Integrationsgrenzen einsetzen
2. beim Differenzieren von [mm] sin^{n-1} [/mm] die innere Ableitung nicht vergessen
Wenn du dann noch [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] berücksichtigst, sollte der Rest leicht zu schaffen sein.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Wenn ich die Grenzen einsetze, fällt der erste Summand weg, denn es ist entweder cos oder sin 0.
Stimmt, die hatte ich ganz vergessen, es ist also dann:
[mm] ....=\integral_{0}^{\pi}{cos^{2}(x) * (sin(x))^{n-2}*(n-1)}
[/mm]
Aber das bringt mich erstmal nicht weiter, denn wenn ich jetzt wieder partielle Integration anwende, wir das nur immer länger und komplizierter.... o.o
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Hiho,
> Aber das bringt mich erstmal nicht weiter, denn wenn ich jetzt wieder partielle Integration anwende, wir das nur immer länger und komplizierter.... o.o
du hast den zweiten Hinweis [mm] $\cos^2(x) [/mm] + [mm] \sin^2(x) [/mm] = 1$ ja noch gar nicht verwendet.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Naja, aber das kann ich doch auch gar nicht anwenden...
Ich hab ja ein Produkt, und keine Summe. Und ich wüsste jetzt auch nicht,
wie ich das ändern sollte... o.o
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Naja, aber das kann ich doch auch gar nicht anwenden...
> Ich hab ja ein Produkt, und keine Summe. Und ich wüsste
> jetzt auch nicht,
> wie ich das ändern sollte... o.o
$ [mm] \cos^2(x) [/mm] =1- [mm] \sin^2(x) [/mm] $
fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ah, ja. Manchmal hat man einfach Tomaten auf den Augen.
Vielen Danke.
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