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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe 1 | Berechne das Integral.
[mm] \integral_{1}^{2}{x * ln(x) dx}
[/mm]
Hinweis: u = ln(x), v' = x setzen |
| Aufgabe 2 | Berechne das Integral.
[mm] \integral_{ }^{ }{x² * sin(x) dx}
[/mm]
Hinweis: zweimal partiell integrieren |
Hallo.
Könnte vielleicht jemand meine Rechnungen kontrollieren?
Es sind Übungsaufgaben ohne Musterlösungen.
Vielen Dank.
LG, Nadine
Aufgabe 1
f = ln(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f' = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
g' = x [mm] \Rightarrow [/mm] g = [mm] \bruch{1}{2}x²
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{2}{x * ln(x) dx}
[/mm]
= [ ln(x) * [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] ] (in den Grenzen 1 bis 2) - [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{1}{x} * \bruch{1}{2}x² dx}
[/mm]
= [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * ln(x) ] (in den Grenzen 1 bis 2) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{2}{ x dx}
[/mm]
= [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * ln(x) ] (in den Grenzen 1 bis 2) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] ] (in den Grenzen 1 bis 2)
= ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 2² * ln(2) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 1² * ln(1) ) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 2² - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 1² )
= 2ln(2) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ( 2 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] )
= 2ln(2) - 1 + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
= 2ln(2) - [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 0,636
Aufgabe 2
f = x² [mm] \Rightarrow [/mm] f' = 2x
g' = sin(x) [mm] \Rightarrow [/mm] g = -cos(x)
I = [mm] \integral_{ }^{ }{x² * sin(x) dx}
[/mm]
= [ x² * (-cos(x)) ] - [mm] \integral_{ }^{ }{2x * (-cos(x)) dx}
[/mm]
= [ -x² * cos(x) ] + 2 * [mm] \underbrace{\integral_{ }^{ }{x * cos(x) dx}}_{= I_1} [/mm]
[mm] I_1 [/mm] = [mm] \integral_{ }^{ }{x * cos(x) dx}
[/mm]
= [ x * sin(x) ] - [mm] \integral_{ }^{ }{1 * sin(x) dx}
[/mm]
= [ x * sin(x) ] - [ -cos(x) + [mm] c_1 [/mm] ]
= [xsin(x) + cos(x) - [mm] c_1 [/mm] ]
[mm] \Rightarrow [/mm] I = [ -x² * cos(x) ] + 2 * [xsin(x) + cos(x) - [mm] c_1 [/mm] ]
= [ -x² * cos(x) ] + [2xsin(x) + 2cos(x) - [mm] 2c_1 [/mm] ]
= -x² * cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + c
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Hallo Nadine!
Alles richtig! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Do 09.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Danke!!!
Das freut mich ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Do 16.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Berechne das Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{e^x * sin(x) dx}
[/mm]
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Hallo!
Könnte vielleicht jemand über diese Aufgabe drüber gucken?
Vielen Dank.
LG, Nadine
I = [mm] \integral_{0}^{1}{e^x * sin(x) dx} [/mm] Partielle Integration: f = [mm] e^x, [/mm] g' = sin(x)
= [mm] [-cos(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{-cos(x) * e^x dx}
[/mm]
= [mm] [-cos(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] + [mm] \underbrace{\integral_{0}^{1}{cos(x) * e^x dx}}_{= I_1}
[/mm]
[mm] I_1 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{cos(x) * e^x dx} [/mm] Partielle Integration: f = [mm] e^x, [/mm] g' = cos(x)
= [mm] [sin(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \underbrace{\integral_{0}^{1}{sin(x) * e^x dx}}_{= I}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] I = [mm] [-cos(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] + [mm] [sin(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{sin(x) * e^x dx}
[/mm]
= [mm] [-cos(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] + [mm] [sin(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] - I
[mm] \gdw [/mm] 2I = [mm] [-cos(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] + [mm] [sin(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] I = [mm] \bruch{1}{2}[-cos(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}[sin(x)*e^x]_{0}^{1} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*[-e^1*cos(1)-(-1)*1] [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*[e^1*sin(1) [/mm] - [mm] e^0*sin(0)]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (-ecos(1) + 1) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (esin(1))
= [mm] \bruch{1}{2}esin(1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}cos(1) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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Hallo Nadine!
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (-ecos(1) + 1) - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (esin(1))
>
> = [mm]\bruch{1}{2}esin(1)[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}cos(1)[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Vor dem [mm] $\cos(1)$ [/mm] fehlt noch der Faktor $e_$ , den Du in der Zeile zuvor noch hattest.
Ansonsten ... ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Berechne das Integral:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{x * cos(2x) dx}
[/mm]
Hinweis: Partiell integrieren |
Hallo!
Ich hab hier mal wieder eine Integrationsaufgabe.
Könnte auch hier einer von euch drüberschauen?
Vielen Dank.
LG, Nadine
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{x * cos(2x) dx}
[/mm]
= [mm] [x*sin(2x)]_{0}^{2 \pi} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{1 * sin(2x) dx}
[/mm]
= [mm] [x*sin(2x)]_{0}^{2 \pi} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{ sin(2x) dx}
[/mm]
= [mm] [x*sin(2x)]_{0}^{2 \pi} [/mm] - [mm] [-cos(2x)]_{0}^{2 \pi}
[/mm]
= [mm] [x*sin(2x)]_{0}^{2 \pi} [/mm] + [mm] [cos(2x)]_{0}^{2 \pi}
[/mm]
= [mm] [2\pi*sin(2\pi)-0*sin(0)] [/mm] + [mm] [cos(2\pi)-cos(0)]
[/mm]
= 0 + (1-1)
= 0
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Hallo Nadine!
Ich habe es nicht bis zum Ende durchgesehen, aber die Stammfunktion zu [mm] $\cos(2x)$ [/mm] lautet [mm] $\red{\bruch{1}{2}}*\sin(2x)$ [/mm] .
Ansonsten: soll hier lediglich dieses Integral berechnet werden oder der Flächeninhalt?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
> Ich habe es nicht bis zum Ende durchgesehen, aber die
> Stammfunktion zu [mm]\cos(2x)[/mm] lautet
> [mm]\red{\bruch{1}{2}}*\sin(2x)[/mm] .
Oh ja!!!! Och nee, ich hasse diese Schusselfehler ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
> Ansonsten: soll hier lediglich dieses Integral berechnet
> werden oder der Flächeninhalt?
Was genau meinst du damit? Also da da ja ein Integral mit Grenzen steht, denke ich, dass man ganz normal den Wert ausrechnen soll.
Ist meine Korrektur nun richtig?
LG, Nadine
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{x*cos(2x) dx}
[/mm]
= [mm] [x*\bruch{1}{2}sin(2x)]_{0}^{2 \pi}- \integral_{0}^{2 \pi}{1*\bruch{1}{2}sin(2x) dx}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{2}xsin(2x)]_{0}^{2 \pi}- \bruch{1}{2}\integral_{0}^{2 \pi}{sin(2x) dx}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{2}xsin(2x)]_{0}^{2 \pi}- \bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}cos(2x)]_{0}^{2 \pi}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{2}*2\pi*sin(4x)-\bruch{1}{2}*0*sin(0)]-[-\bruch{1}{2}*cos(4\pi)-(-\bruch{1}{2}*cos(0))]
[/mm]
= [mm] -(-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2})
[/mm]
= 0
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Hallo Nadine!
> > Ansonsten: soll hier lediglich dieses Integral berechnet
> > werden oder der Flächeninhalt?
>
> Was genau meinst du damit? Also da da ja ein Integral mit
> Grenzen steht, denke ich, dass man ganz normal den Wert
> ausrechnen soll.
Sollte hier der Flächeninhalt gesucht sein, müsstest Du das Integral zerlegen, da hier über mehrere Nullstellen hinweg integriert wird.
> Ist meine Korrektur nun richtig?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hi Roadrunner.
Danke fürs Nachgucken.
Aber was bedeutet dann mein Ergebnis überhaupt?
Ich dachte, dass wäre der Flächeninhalt?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mo 20.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Nadine,
> Aber was bedeutet dann mein Ergebnis überhaupt?
>
> Ich dachte, dass wäre der Flächeninhalt?
dein Ergebnis bedeutet, daß genausoviel Fläche oberhalb der x-Achse liegt wie unterhalb!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Dieter!
Danke für die Erklärung!
Ich hab in meiner Aufgabe quasi einen Flächeninhalt über der x-Achse und einen darunter?
Und da der Flächeninhalt unter der Achse negativ ist, zieht er sich vom ersten ab, und da beide gleich groß sind, erhalte ich Null?
Wenn nun also explizit nach dem Flächeninhalt gefragt ist, suche ich immer nach Nullstellen, integriere dann immer einzeln von
Nullstelle zu Nullstelle, und wenn ich nicht weiß, wo der Graph oberhalb der x-Achse liegt, setzte ich am besten alle Teilintegrale auch
noch in Betragsstriche, damit mit Sicherheit alle Integralergebnisse positiv sind?
Und wenn ich weiß, welcher Teil unterhalb ist, setzte ich dann einfach ein Minus vor das Teilintegral, mit dem ich den negativen
Flächeninhalt wieder positiv mache?
LG, Nadine
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Hallo Nadine!
> Hallo Dieter!
Nee, nur ich  ...
Aber Deine Ausführungen sind genau richtig! So wird's gemacht ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo ihr alle.
Vielen Dank für eure Hilfe
LG, Nadine
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