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Forum "Integration" - (Partielle) Integration
(Partielle) Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Partielle) Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Mi 03.05.2006
Autor: stray

Aufgabe 1
Verwenden Sie partielle Integration:

[mm] \integral [/mm] x log(x) dx  

Aufgabe 2
Integrieren Sie unbestimmt die folgenden ratioonalen Funktionen:

[mm] \integral \bruch{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x} [/mm] dx

Aufgabe 3
Integrieren Sie unbestimmt die folgenden ratioonalen Funktionen:

[mm] \integral \bruch{3x^2+2x-2}{x^3-1} [/mm] dx

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Aufgabe 1

partielle Integration: [mm] \integral [/mm] u(x) * v'(x) dx = u(x) * v(x) - [mm] \integral [/mm] v(x) * u'(x) dx

[mm] \integral [/mm] x log(x) dx  = x * v(x) - [mm] \integral [/mm] v(x) * 1 = x *v(x) - [mm] \integral [/mm] v(x)

Was ist v(x) ? Ansonsten versteh ichs ;o)



Aufgabe 2
Dazu fällt mir nur ein:

[mm] \integral \bruch{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x} [/mm] dx =>  [mm] x^3+x^2-2x [/mm] = [mm] x(x^2+x-2) [/mm]

und danach die Zerlegung mit   [mm] \bruch{A}{x} + \bruch{B}{??} + [/mm] ...

nur wie ist diese Aufteilung



Aufgabe 3

[mm] \integral \bruch{3x^2+2x-2}{x^3-1} [/mm] dx => [mm] x^3-1 [/mm]  
=> kann man ja nicht wie Aufg 2 "umschreiben"



        
Bezug
(Partielle) Integration: zu Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:02 Do 04.05.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen stray!


Setze hier $v' \ = \ x$  sowie  $u \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm]

Damit wird dann $v \ = \ [mm] \bruch{1}{2}x^2$ [/mm]  und  $u' \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] .



Anmerkung:
Ich habe hier die gegebene (Teil-)Funktion [mm] $\blue{\log(x)}$ [/mm] als den natürlichen Logarithmus [mm] $\blue{\ln(x)}$ [/mm] (also zur Basis [mm] $\blue{e}$ [/mm] ) interpretiert.

Bei anderen Basen [mm] $\blue{b}$ [/mm] gilt ansonsten:   [mm] $\blue{u \ = \ \log_b(x)}$    $\blue{\Rightarrow}$   $\blue{u' \ = \ \bruch{1}{\ln(b)}*\bruch{1}{x}}$
[/mm]



Und nun in die Formel einsetzen ...


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
(Partielle) Integration: zu Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Do 04.05.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen stray!


Es gilt ja für den Nenner (ausklammern und MBp/q-Formel) :

[mm] $x^3+x^2-2x [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^2+x-2\right) [/mm] \ = \ x*(x+2)*(x-1)$


Damit lautet die Partialbruchzerlegung:

[mm] $\bruch{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x^2+5x-1}{x*(x+2)*(x-1)} [/mm]  \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{C}{x-1}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
(Partielle) Integration: zu Aufgabe 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:15 Do 04.05.2006
Autor: Loddar

Hallo stray!


Es gilt: [mm] $x^3-1 [/mm] \ = \ [mm] (x-1)*\left(x^2+x+1\right)$ [/mm] .


Damit wird dann:  [mm] $\bruch{3x^2+2x-2}{x^3-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x^2+2x-2}{(x-1)*\left(x^2+x+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B*x+C}{x^2+x+1}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
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