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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Do 01.06.2006 | | Autor: | DAB268 |
| Aufgabe | Es sei $f [mm] \in C^{4}[0,1]$ [/mm] und $S$ eine kubische, $f$ interpolierende Splinefunktion zu den Knoten [mm] $0=x_1<\hdots
(I)$f'(0)=S'(0),f'(1)=S'(1)$ oder (II)$f''(0)=S''(0),f''(1)=S''(1)$
Beweisen sie:
[mm] $\integral_{0}^{1}{(f(x)-S(x))'')^{2} dx}= \integral_{0}^{1}{(f(x)-S(x))f^{(4)}(x) dx}$
[/mm]
Hinweis: Integrieren sie die linke Seite zweimal partiell und benutzen sie (I) und (II) |
Hallo.
Wenn ich [mm] \integral_{0}^{1}{(f(x)-S(x))'')^2 dx} [/mm] zweimal partiell integriere, und (I) und (II) benutze, so erhalte ich folgende Gleichung:
[mm] $((f(x)-S(x))''')^{2}|_{0}^{1}-\integral_{0}^{1}{(f(x)-S(x))\cdot(f(x)-S(x))^{(4)} dx}$
[/mm]
Allerdings weiss ich nicht wirklich, wie ich von dieser Formal auf [mm] $\integral_{0}^{1}{(f(x)-S(x))f^{(4)}(x) dx}$ [/mm] kommen soll.
Könnt ihr mir helfen?
MfG
DAB268
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 01.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo DAB268!
Dir sind beim partiellen Integrieren zwei Fehler unterlaufen. Statt
> [mm] $((f(x)-S(x))''')^{2}|_{0}^{1}-\integral_{0}^{1}{(f(x)-S(x))\cdot(f(x)-S(x))^{(4)} dx}$
[/mm]
solltest Du
[mm] $\left[\red{(f(x)-S(x))*}(f(x)-S(x))'''\right]|_{0}^{1}\mathop{\red{+}}\integral_{0}^{1}{(f(x)-S(x))\cdot(f(x)-S(x))^{(4)} dx}$
[/mm]
erhalten. Wenn Du jetzt noch berücksichtigst, das S kubisch ist und 0 und 1 Stützstellen sind, steht es sofot da. 
Grüße,
Galois
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