Partielle Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] W(T,p)=\integral_{P1}^{P2}\bruch{RT_{2}}{p}dp
[/mm]
Integrieren Sie diese Funktion |
Hallo zusammen,
ich hab versucht die Funktion mit der partiellen Integration zu lösen.
[mm] W(T,p)=\integral_{P1}^{P2}\bruch{RT_{2}}{p}dp
[/mm]
[mm] =\integral_{P1}^{P2}RT_{2}\bruch{1}{p}dp [/mm] = [mm] \bruch{1}{p}*RT_{2}p-\integral_{P1}^{P2}-\bruch{1}{p}*RT_{2}dp
[/mm]
und wenn ich hier das integral subtrahiere kommt ja auf der linken seite 0 raus.
wo hab ich einen fehler gemacht? oder ist das mit partieller integration nicht möglich?
lg chipsy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 So 21.09.2008 | | Autor: | Disap |
> [mm]W(T,p)=\integral_{P1}^{P2}\bruch{RT_{2}}{p}dp[/mm]
> Integrieren Sie diese Funktion
> Hallo zusammen,
Hi.
> ich hab versucht die Funktion mit der partiellen
> Integration zu lösen.
Ist bei euch denn nicht bekannt, dass
[mm] $\int \frac{a}{x} [/mm] dx = a [mm] \int \frac{1}{x}dx [/mm] = a *ln |x| + c$
Wozu dann unnötig kompliziert machen?...
> [mm]W(T,p)=\integral_{P1}^{P2}\bruch{RT_{2}}{p}dp[/mm]
> [mm]=\integral_{P1}^{P2}RT_{2}\bruch{1}{p}dp[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{p}*RT_{2}p-\integral_{P1}^{P2}-\bruch{1}{p}*RT_{2}dp[/mm]
>
> und wenn ich hier das integral subtrahiere kommt ja auf der
> linken seite 0 raus.
> wo hab ich einen fehler gemacht? oder ist das mit
> partieller integration nicht möglich?
>
> lg chipsy
>
>
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 So 21.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Erstens ist es mit partieller Integration nicht möglich und zweitens hast du einen Fehler gemacht. Wie Disap schon gesagt hat, die Stammfunktion von $1/x$ ist [mm] $\log|x|$.
[/mm]
> [mm]=\integral_{P1}^{P2}RT_{2}\bruch{1}{p}dp[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{p}*RT_{2}p-\integral_{P1}^{P2}-\bruch{1}{p}*RT_{2}dp[/mm]
Hier hast du dich verrechnet, im neuen Integranden musst du [mm] $\frac{1}{p}$ [/mm] doch ableiten, dann bleibt da [mm] $-\frac{1}{p^2}$.
[/mm]
Gruß, Robert
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>Erstens ist es mit partieller Integration nicht möglich
genau das versteh ich nicht. warum ist das nicht möglich?
sorry, aber ich steh grad auf dem schlauch. ich kapier nicht wieso ich das nicht partiell integrieren kann
Mir gehts nur darum zu verstehen warum es nicht geht.
> zweitens hast du einen Fehler gemacht. Wie Disap schon
> gesagt hat, die Stammfunktion von [mm]1/x[/mm] ist [mm]\log|x|[/mm].
>
> > [mm]=\integral_{P1}^{P2}RT_{2}\bruch{1}{p}dp[/mm] =
> >
> [mm]\bruch{1}{p}*RT_{2}p-\integral_{P1}^{P2}-\bruch{1}{p}*RT_{2}dp[/mm]
> Hier hast du dich verrechnet, im neuen Integranden musst
> du [mm]\frac{1}{p}[/mm] doch ableiten, dann bleibt da
> [mm]-\frac{1}{p^2}[/mm].
>
ich hab [mm] \bruch{1}{p} [/mm] schon abgeleitet aber durch [mm] RT_{2}p [/mm] kürzt sich das p doch wieder raus oder?
[mm] \integral-\bruch{1}{p²}*RT_{2}p [/mm] dp
= [mm] \integral-\bruch{1}{p}*RT_{2} [/mm] dp
> Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 21.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Erstens ist es mit partieller Integration nicht möglich
>
> genau das versteh ich nicht. warum ist das nicht möglich?
> sorry, aber ich steh grad auf dem schlauch. ich kapier
> nicht wieso ich das nicht partiell integrieren kann
> Mir gehts nur darum zu verstehen warum es nicht geht.
Diese Frage kann ich dir leider nicht beantworten. Ich schau nochmal, ob ich was dazu finden kann.
> ich hab [mm]\bruch{1}{p}[/mm] schon abgeleitet aber durch [mm]RT_{2}p[/mm]
> kürzt sich das p doch wieder raus oder?
Stimmt. Dennoch erhälst du dadurch insgesamt keine Aussage über dein gesuchtes Integral.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 So 21.09.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> > > Erstens ist es mit partieller Integration nicht möglich
> >
> > genau das versteh ich nicht. warum ist das nicht möglich?
> > sorry, aber ich steh grad auf dem schlauch. ich kapier
> > nicht wieso ich das nicht partiell integrieren kann
> > Mir gehts nur darum zu verstehen warum es nicht geht.
> Diese Frage kann ich dir leider nicht beantworten. Ich
> schau nochmal, ob ich was dazu finden kann.
Na ja, es gibt ja nur zwei (sinnvolle) Möglichkeiten, sein u' und v zu wählen.
In seinem Fall kann er u' := 1/p setzen, weil er das dann integrieren müsste - aber dazu kennt er die Stammfunktion leider nicht.
Also muss er u'= constant setzen und v = 1/p
Wenn er u' integriert, erhält er dort ein zusätzliches p, also u = const*p, bei v allerdings erhöht sich gerade der Nenner ins Negative.
v' = [mm] 1/p^2
[/mm]
Hinterher kürzt sich das p mit dem [mm] 1/p^2 [/mm] gerade wieder zu 1/p.
Edit:
Also bei
- [mm] \int [/mm] u*v dp
/ Edit
Das bringt ihn also nicht weiter...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 So 21.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo.
>
> > > > Erstens ist es mit partieller Integration nicht möglich
> > >
> > > genau das versteh ich nicht. warum ist das nicht möglich?
> > > sorry, aber ich steh grad auf dem schlauch. ich kapier
> > > nicht wieso ich das nicht partiell integrieren kann
> > > Mir gehts nur darum zu verstehen warum es nicht geht.
> > Diese Frage kann ich dir leider nicht beantworten. Ich
> > schau nochmal, ob ich was dazu finden kann.
> Na ja, es gibt ja nur zwei (sinnvolle) Möglichkeiten, sein
> u' und v zu wählen.
Ja das ist halt genau die Frage. Er könnte das Produkt ja auch ganz anders wählen. Woher willst du wissen, dass das niemals zum Erfolg führen wird?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 So 21.09.2008 | | Autor: | Disap |
> > > schau nochmal, ob ich was dazu finden kann.
> > Na ja, es gibt ja nur zwei (sinnvolle) Möglichkeiten, sein
> > u' und v zu wählen.
> Ja das ist halt genau die Frage. Er könnte das Produkt ja
> auch ganz anders wählen.
Ganz anders? wie denn?
> Woher willst du wissen, dass das
> niemals zum Erfolg führen wird?
Das kommt ganz darauf an, was du mir jetzt gleich für ein Produkt vorschlägst.
Mit der meinigen Variante erhält man
u' = [mm] RT_2
[/mm]
v = 1/p
v'= - [mm] 1/p^2
[/mm]
$ [mm] \integral \bruch{RT_{2}}{p}dp [/mm] = [mm] RT_2*p*1/p [/mm] - [mm] \int RT_2*p*(-1)* \frac{1}{p^2} [/mm] dp$
kürzen
$= [mm] RT_2 \red{+} \int RT_2* \frac{1}{p} [/mm] dp$
Damit haben wir hergeleitet
$ [mm] \integral \bruch{RT_{2}}{p}dp [/mm] = [mm] RT_2 \red{+} \int RT_2* \frac{1}{p} [/mm] dp$
nun bringen wir das Integral rechts auf die Linke Seite und dann ergibt sich
$ 0 = [mm] RT_2$
[/mm]
Und das ist schwachsinn.
Die Wahl v' = 1/p geht nicht, da wir ja davon ausgehen, die Stammfunktion nicht zu kennen ;)
MfG
Disap
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:27 So 21.09.2008 | | Autor: | chipsy_101 |
> > > > schau nochmal, ob ich was dazu finden kann.
> > > Na ja, es gibt ja nur zwei (sinnvolle) Möglichkeiten, sein
> > > u' und v zu wählen.
> > Ja das ist halt genau die Frage. Er könnte das Produkt
> ja
> > auch ganz anders wählen.
>
> Ganz anders? wie denn?
>
> > Woher willst du wissen, dass das
> > niemals zum Erfolg führen wird?
>
> Das kommt ganz darauf an, was du mir jetzt gleich für ein
> Produkt vorschlägst.
>
> Mit der meinigen Variante erhält man
>
> u' = [mm]RT_2[/mm]
> v = 1/p
>
> v'= - [mm]1/p^2[/mm]
>
> [mm]\integral \bruch{RT_{2}}{p}dp = RT_2*p*1/p - \int RT_2*p*(-1)* \frac{1}{p^2} dp[/mm]
>
> kürzen
>
> [mm]= RT_2 \red{+} \int RT_2* \frac{1}{p} dp[/mm]
>
> Damit haben wir hergeleitet
>
> [mm]\integral \bruch{RT_{2}}{p}dp = RT_2 \red{+} \int RT_2* \frac{1}{p} dp[/mm]
>
> nun bringen wir das Integral rechts auf die Linke Seite und
> dann ergibt sich
>
> [mm]0 = RT_2[/mm]
>
> Und das ist schwachsinn.
>
> Die Wahl v' = 1/p geht nicht, da wir ja davon ausgehen, die
> Stammfunktion nicht zu kennen ;)
>
Ich kenne die Stammfunktion von f(x)=1/p schon, ich hab auch beide Möglichkeiten ausprobiert. [mm] RT_{2} [/mm] oder 1/p als v' zu wählen, aber bei Möglichkeit 1 kommt wie du ja oben auch geschriebn hast 0 raus und wenn ich 1/p als v' wähle kommt auch nichts vernünftiges raus.
Daher wollte ich wissen, ob diese Aufgabe vlt. mit partieller Integration nicht zu lösen ist und wenn ja warum
P.S. ich bin übrigens eine Sie ;)
> MfG
> Disap
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 So 21.09.2008 | | Autor: | Disap |
> Ich kenne die Stammfunktion von f(x)=1/p schon, ich hab
Dann verstehe ich dein Problem irgendwie nicht. Die Variante, die ich gerade vorgerechnet habe, führte ja nicht zum Ziel, wie ...
> auch beide Möglichkeiten ausprobiert. [mm]RT_{2}[/mm] oder 1/p als
> v' zu wählen, aber bei Möglichkeit 1 kommt wie du ja oben
> auch geschriebn hast 0 raus und wenn ich 1/p als v' wähle
...du ja auch erkannt hast.
> kommt auch nichts vernünftiges raus.
> Daher wollte ich wissen, ob diese Aufgabe vlt. mit
> partieller Integration nicht zu lösen ist und wenn ja
> warum
Wenn wir davon ausgehen, dass du die Stammfunktion von 1/p kennst, aber trotzdem mit partieller Integration arbeiten willst/sollst, dann kannst du das mit part. Integration schon lösen.
Wähle
u' =1/p [mm] \Rightarrow [/mm] u = ln |p|
v = [mm] RT_2 \Rightarrow [/mm] v ' = 0
Dann gilt
[mm] $\integral_{P1}^{P2}\bruch{RT_{2}}{p}dp [/mm] = u*v - [mm] \int [/mm] u'*v dp $
$= ln |p| * [mm] RT_2 [/mm] - [mm] \int [/mm] 0* ln |p| dp = ln [mm] |p|*RT_2$
[/mm]
Mehr gibts da nicht (und eben weil v' = 0 ist, ist eine Integration mit partieller Integration irgendwie blödsinnig, weshalb ich auch nicht verstehe, worauf du hinauswillst.)
> P.S. ich bin übrigens eine Sie ;)
Und blond? :p
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 So 21.09.2008 | | Autor: | chipsy_101 |
>
> Wenn wir davon ausgehen, dass du die Stammfunktion von 1/p
> kennst, aber trotzdem mit partieller Integration arbeiten
> willst/sollst, dann kannst du das mit part. Integration
> schon lösen.
>
> Wähle
>
> u' =1/p [mm]\Rightarrow[/mm] u = ln |p|
> v = [mm]RT_2 \Rightarrow[/mm] v ' = 0
>
> Dann gilt
> [mm]\integral_{P1}^{P2}\bruch{RT_{2}}{p}dp = u*v - \int u'*v dp[/mm]
>
> [mm]= ln |p| * RT_2 - \int 0* ln |p| dp = ln |p|*RT_2[/mm]
>
> Mehr gibts da nicht (und eben weil v' = 0 ist, ist eine
> Integration mit partieller Integration irgendwie
> blödsinnig, weshalb ich auch nicht verstehe, worauf du
> hinauswillst.)
>
Okay vielen Dank für deine Hilfe, jetzt hab ich es kapiert. Ich hab da irgendwie mist verzapft, deshalb ist das richtige nicht rausgekommen.
>
> Und blond? :p
>
sehr witzig.....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 So 21.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> > > > schau nochmal, ob ich was dazu finden kann.
> > > Na ja, es gibt ja nur zwei (sinnvolle) Möglichkeiten, sein
> > > u' und v zu wählen.
> > Ja das ist halt genau die Frage. Er könnte das Produkt
> ja
> > auch ganz anders wählen.
>
> Ganz anders? wie denn?
>
> > Woher willst du wissen, dass das
> > niemals zum Erfolg führen wird?
>
> Das kommt ganz darauf an, was du mir jetzt gleich für ein
> Produkt vorschlägst.
Ich glaube der Fantasie sind da keine Grenzen gesetzt, man könnte ja für jedes [mm] $c\in\IR$ [/mm] auch [mm] $\frac{1}{x}=\frac{1}{x^c}\cdot\frac{1}{x^{1-c}}$ [/mm] schreiben, da hat man schonmal sehr viele zerlegungen gefunden.
>
> Mit der meinigen Variante erhält man
> u' = [mm]RT_2[/mm]
> v = 1/p
> v'= - [mm]1/p^2[/mm]
> [mm]\integral \bruch{RT_{2}}{p}dp = RT_2*p*1/p - \int RT_2*p*(-1)* \frac{1}{p^2} dp[/mm]
> kürzen
> [mm]= RT_2 \red{+} \int RT_2* \frac{1}{p} dp[/mm]
> Damit haben wir hergeleitet
> [mm]\integral \bruch{RT_{2}}{p}dp = RT_2 \red{+} \int RT_2* \frac{1}{p} dp[/mm]
> nun bringen wir das Integral rechts auf die Linke Seite und
> dann ergibt sich
>
> [mm]0 = RT_2[/mm]
>
> Und das ist schwachsinn.
Allerdings. Das kann man so auch nicht einfach umformen, da das Symbol [mm] $\int\frac{1}{x}\ [/mm] dx$ keine Zahl, sondern eine Menge von Funktionen ist. Die Gleichung [mm]\integral \bruch{RT_{2}}{p}dp = RT_2 + \int RT_2* \frac{1}{p} dp[/mm] sagt lediglich aus, dass für jede Stammfunktion $F$ auch [mm] $F+RT_2$ [/mm] eine Stammfunktion ist.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 So 21.09.2008 | | Autor: | Disap |
> > Das kommt ganz darauf an, was du mir jetzt gleich für ein
> > Produkt vorschlägst.
> Ich glaube der Fantasie sind da keine Grenzen gesetzt, man
> könnte ja für jedes [mm]c\in\IR[/mm] auch
> [mm]\frac{1}{x}=\frac{1}{x^c}\cdot\frac{1}{x^{1-c}}[/mm] schreiben,
> da hat man schonmal sehr viele zerlegungen gefunden.
Sehr gute Idee.
Aber für den Fall v' = [mm] \frac{1}{x^c}, [/mm] v = [mm] \frac{1}{-c+1}\frac{1}{x^{c-1}}
[/mm]
u = [mm] \frac{1}{x^{1-c}}; [/mm] u' = [mm] (c-1)*\frac{1}{x^{2-c}} [/mm]
kürzt sich u'*v wieder zu 1/x * const weg, und davon kennst du die Stammfunktion nicht.
Wozu ich das überhaupt aufgeschrieben habe, weiß ich auch nicht. Wir wissen ja, dass einen das wohl nicht weiterbringt.
Da bin ich mal gespannt, was du dazu recherchieren kannst ;)
> > Mit der meinigen Variante erhält man
> > u' = [mm]RT_2[/mm]
> > v = 1/p
> > v'= - [mm]1/p^2[/mm]
> > [mm]\integral \bruch{RT_{2}}{p}dp = RT_2*p*1/p - \int RT_2*p*(-1)* \frac{1}{p^2} dp[/mm]
>
> > kürzen
> > [mm]= RT_2 \red{+} \int RT_2* \frac{1}{p} dp[/mm]
> > Damit haben
> wir hergeleitet
> > [mm]\integral \bruch{RT_{2}}{p}dp = RT_2 \red{+} \int RT_2* \frac{1}{p} dp[/mm]
>
> > nun bringen wir das Integral rechts auf die Linke Seite und
> > dann ergibt sich
> >
> > [mm]0 = RT_2[/mm]
> >
> > Und das ist schwachsinn.
> Allerdings. Das kann man so auch nicht einfach umformen,
Stimmt, weil man so bei dem Beispiel auch nicht zum Ziel kommt :)
Aber prinzipiell kann man das Integral von rechts links rübershiften, das ist doch derselbe Trick wie beim finden der Stammfunktion von [mm] \int sin^2(x) [/mm] dx
> da das Symbol [mm]\int\frac{1}{x}\ dx[/mm] keine Zahl, sondern eine
> Menge von Funktionen ist. Die Gleichung [mm]\integral \bruch{RT_{2}}{p}dp = RT_2 + \int RT_2* \frac{1}{p} dp[/mm]
> sagt lediglich aus, dass für jede Stammfunktion [mm]F[/mm] auch
> [mm]F+RT_2[/mm] eine Stammfunktion ist.
Richtig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 So 21.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine partielle Integration ist ja nicht falsch, wenn du die Grenzen auch im ersten Teil einsetzt ist es auch richtig, dass 0 rauskommt!
Nur fuehrt ja deine part. integration wieder auf dasselbe Integral, sodass sie dir nichts hift.
Mach dasselbe mit dem Integral ueber 1*x, wenn du das Integral ueber x nicht kennst kommst du damit auch nur wieer auf dasselbe Integral! d.h. die partielle Integration macht nichts falsch, aber sie bringt dir eben auch nix.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 So 21.09.2008 | | Autor: | chipsy_101 |
okay, meine frage ist dann damit beantwortet.
Ich danke euch für eure Hilfe!
lg chipsy
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