Partielle Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Di 13.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Berechnen Sie das bestimmte Integral ohne Verwendung von Integraltafeln:
[mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(x^2) \ dx}[/mm] |
Hallo,
wir hatten zwar in der Vorlesung das Thema noch nicht, aber damit ich mehr Zeit habe zum üben habe, möchte ich es selber vorziehen. Ich habe mich über Integrale erkundigt und für mich schien es als ob es nur 2 große Varianten gibt:
- Substitution
- Partielle Integration (was für mich sowas wie die Umkehrung der Produktregel ist)
Da ich hier ein Produkt habe, möchte ich Partielle Integration anwenden, hoffe mal die Anfangsschritte sind richtig:
[mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(x^2) \ dx}=\frac{1}{4} \ x^4 \cdot{}\sin(x^2)| \begin{matrix}
2 \\ 0 \end{matrix} - \integral_{0}^{2}{\frac{1}{4} \ x^4 \cdot{} 2x \cdot{} \cos(x^2) \ dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{2} \ x^4 \cdot{}\sin(x^2)| \begin{matrix}
2 \\ 0 \end{matrix} - \integral_{0}^{2}{x^5 \cdot{} \cos(x^2) \ dx}\right) = ...?![/mm]
Wie geht es nun weiter? Ist es bis hierhin überhaupt richtig?
Gruß
Lyrone.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Di 13.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Diese partielle Integration bringt Dich leider nicht weiter.
Beginne mit der Substitution $u \ := \ [mm] x^2$ [/mm] .
Das daraus entstehende Integral kann dann mittels partieller Integration behandelt werden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar,
leider weiss ich nicht wie man mit der jetzt wohl Konstanten u umgeht.
Ich habe es mal nach gutem Gewissen probiert, wurde doch recht lang, ne gute DIN A4 Seite. Eine Lösung kann ich leider noch nicht anbieten, dafür aber ein paar Fragen zum Grundverständnis ... .
Ich möchte das jetzt nicht alles abtippen, deswegen werde ich es zerstückeln:
[mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(u) \ dx} \ = \left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}{3x^2 \cdot{} (-\cos(u)) \ dx}[/mm]
Ist der erste Schritt richtig?
Nachher ein paar Schritte weiter lande ich bei sowas:
[mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(u) \ dx} \ = \left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}{3x^2 \cdot{} (-\cos(u)) \ dx} \ =\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\left(\left[3x^2 \cdot{} (-\sin(u))\right]_{0}^{2}-\left(\left[6x \cdot{} (\cos(u))\right]_{0}^{2}- 6 \cdot{}\integral_{0}^{2}{cos(u) \ dx}\right)\right)[/mm]
Ist das von der Art her richtig?
Jetzt mal unabhänig davon ob es jetzt falsch oder richtig ist, wenn ich sowas habe wie:
[mm]\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2} - \left[3x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}[/mm]
kann ich daraus
[mm]\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u)) - \left(3x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right)\right]_{0}^{2}[/mm]
machen? Oder muss ich jeden "Term" einzelnd betrachten?
Wünsche einen schönen Abend .. .
|
|
|
| |
|
Hallo Lyrone,
> Hallo Loddar,
>
> leider weiss ich nicht wie man mit der jetzt wohl
> Konstanten u umgeht.
> Ich habe es mal nach gutem Gewissen probiert, wurde doch
> recht lang, ne gute DIN A4 Seite. Eine Lösung kann ich
> leider noch nicht anbieten, dafür aber ein paar Fragen zum
> Grundverständnis ... .
> Ich möchte das jetzt nicht alles abtippen, deswegen werde
> ich es zerstückeln:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(u) \ dx} \ = \left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}{3x^2 \cdot{} (-\cos(u)) \ dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ist der erste Schritt richtig?
>
> Nachher ein paar Schritte weiter lande ich bei sowas:
> $\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(u) \ dx} \ = \left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}{3x^2 \cdot{} (-\cos(u)) \ dx} \ $
Uiii, mehrere Variablen in einem Integral, das kann nicht gut gehen
Du musst alle Variablen in u ausdrücken, das Differential dx in du und die Grenzen in u ausdrücken!
$=\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\left(\left[3x^2 \cdot{} (-\sin(u))\right]_{0}^{2}-\left(\left[6x \cdot{} (\cos(u))\right]_{0}^{2}- 6 \cdot{}\integral_{0}^{2}{cos(u) \ dx}\right)\right)$
>
> Ist das von der Art her richtig?
Nein, mit der vorgeschlagenen Substitution $\red{u=u(x)=x^2}$ ist $u'(x)=\frac{du}{dx}=2x\Rightarrow \blue{dx=\frac{du}{2x}}$
Die alte untere Grenze ist $x=0$, also $u=x^2=0^2=0$
obere alte: $x=2$, also $u=x^2=2^2=4$
Alles ersetzen (einschl. der alten Grenzen)
$\int\limits_{x=0}^{x=2}{x^3\cdot{}\sin(\red{x^2}) \ \blue{dx}}=\int\limits_{u=0}^{u=4}{x\cdot{}\red{x^2}\cdot{}\sin(\red{u}) \ \blue{\frac{du}{2x}}}=\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{\red{x^2}\cdot{}\sin(u) \ du}}=\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{\red{u}\cdot{}\sin(u) \ du}}$
Und hier $\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}}$ nun partiell integrieren
>
> Jetzt mal unabhänig davon ob es jetzt falsch oder richtig
> ist, wenn ich sowas habe wie:
>
> [mm]\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2} - \left[3x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}[/mm]
>
> kann ich daraus
>
> [mm]\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u)) - \left(3x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right)\right]_{0}^{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, aber mit den Minusklammern aufpassen beim Ausrechnen 
>
> machen? Oder muss ich jeden "Term" einzelnd betrachten?
Nö
>
> Wünsche einen schönen Abend .. .
>
Ebenso
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 15.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Danke schachuzipus für deine ausführliche Hilfe, wäre da nie von alleine drauf gekommen.
Nun richtig?
[mm]
\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))\right]_{0}^{4} \ - \int\limits_{u=0}^{u=4}{1\cdot{}(-\cos(u)) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))+\sin(u)\right]_{0}^{4}[/mm]
[mm]= \frac{1}{2}\cdot{} \left(4\cdot{}(-\cos(4))+\sin(4)-\left(0\cdot{}(-\cos(0))+\sin(0)\right) \right)=-1,96[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Lyrone,
> Danke schachuzipus für deine ausführliche Hilfe, wäre da
> nie von alleine drauf gekommen.
>
> Nun richtig?
>
> [mm]
\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))\right]_{0}^{4} \ - \int\limits_{u=0}^{u=4}{1\cdot{}(-\cos(u)) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))+\sin(u)\right]_{0}^{4}[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}\cdot{} \left(4\cdot{}(-\cos(4))+\sin(4)-\left(0\cdot{}(-\cos(0))+\sin(0)\right) \right)=-1,96[/mm]
Das hast Du ausversehen im Gradmaß berechnet.
Berechne das doch im Bogenmaß.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 15.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Danke MathePower für den Hinweis.
[mm]
\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))\right]_{0}^{4} \ - \int\limits_{u=0}^{u=4}{1\cdot{}(-\cos(u)) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))+\sin(u)\right]_{0}^{4}[/mm]
[mm]= \frac{1}{2}\cdot{} \left(4\cdot{}(-\cos(4))+\sin(4)-\left(0\cdot{}(-\cos(0))+\sin(0)\right) \right)= 0,929[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Do 15.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Lyrone,
Danke MathePower für den Hinweis.
>
> [mm]
\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))\right]_{0}^{4} \ - \int\limits_{u=0}^{u=4}{1\cdot{}(-\cos(u)) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))+\sin(u)\right]_{0}^{4}[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}\cdot{} \left(4\cdot{}(-\cos(4))+\sin(4)-\left(0\cdot{}(-\cos(0))+\sin(0)\right) \right)= 0,929[/mm]
>
Ok, jetzt stimmt's.
Gruß
MathePower>
|
|
|
|
