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Forum "Integralrechnung" - Partielle Integration
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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

Aufgabe
Berechnen Sie mit partieller Integration:

a) [mm] \integral e^{x}*(x+1)dx [/mm]
b)  [mm] \integral [/mm] x*sin(x)dx
c) [mm] \integral ln(x^{4})dx [/mm]
d) [mm] \integral e^{x}*(x^{2}+1)dx [/mm]
e) [mm] \integral cos^{2}(x) [/mm] dx
[mm] f)\integral_{0}^{1} x*e^{-x}dx [/mm]
[mm] g)\integral_{0}^{\pi} \bruch{x}{2}*sin(x)dx [/mm]

Hallo,

Sind meine beiden Ergebnisse bis jetzt richtig?
a)= [mm] e^{x}*(1/2x^2+x)-\integral e^{x}*(x+1)dx [/mm]
   = [mm] e^{x}*(1/2x^2+x)-e^{x}*(1/2x^2+x) [/mm]
b)= x*cos(x)- [mm] \integral1*sin(x) [/mm]
   = x*cos(x)-x*(-cos(x))


        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Mo 09.12.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,

bitte derart viele Aufgaben in separaten threads posten ...


> Berechnen Sie mit partieller Integration:

>

> a) [mm]\integral e^{x}*(x+1)dx[/mm]
> b) [mm]\integral[/mm] x*sin(x)dx
> c) [mm]\integral ln(x^{4})dx[/mm]
> d) [mm]\integral e^{x}*(x^{2}+1)dx[/mm]

>

> e) [mm]\integral cos^{2}(x)[/mm] dx
> [mm]f)\integral_{0}^{1} x*e^{-x}dx[/mm]
> [mm]g)\integral_{0}^{\pi} \bruch{x}{2}*sin(x)dx[/mm]

>

> Hallo,

>

> Sind meine beiden Ergebnisse bis jetzt richtig?
> a)= [mm]e^{x}*(1/2x^2+x)-\integral e^{x}*(x+1)dx[/mm]

Nein, das müsste [mm]e^x\cdot{}(1/2x^2+x)-\int{e^x(1/2x^2+x) \dx}[/mm] lauten.

Vertausche mal lieber die Rollen von [mm]e^x[/mm] und [mm]x+1[/mm].

Du willst ja das verbleibende Integral möglichst einfach machen; du hast es verschlimmbessert ;-)

> =
> [mm]e^{x}*(1/2x^2+x)-e^{x}*(1/2x^2+x)[/mm]

Das wäre 0 - kann das denn sein?

> b)= x*cos(x)- [mm]\integral1*sin(x)[/mm]
> = x*cos(x)-x*(-cos(x))

Nein, wieder Humbuk.

Du hast die Integrationsregel offenbar nicht verstanden:

[mm]\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx} \ = \ u(x)\cdot{}v(x)-\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}[/mm]

Du musst die Rollen der Faktoren so wählen, dass das verbleibende Integral möglichst einfach wird.

Wenn also x (oder wie in a) x+1) als Faktor im Ausgangsintegral steht, bietet es sich an, [mm]x=v(x)[/mm] (bzw. [mm]v(x)=x+1[/mm] in a)) zu versuchen ...

Probier's nochmal!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

ich habe bei a) jetzt folgendes raus:

= [mm] e^{x}*(x+1)-\integral e^{x}*1 [/mm]
= [mm] e^{x}*(x+a)-e^{x}*x+C [/mm]

ist das richtig?

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Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mo 09.12.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> ich habe bei a) jetzt folgendes raus:

>

> = [mm]e^{x}*(x+1)-\integral e^{x}*1[/mm]
> = [mm]e^{x}*(x+a)-e^{x}*x+C[/mm]

>

> ist das richtig?

Nein, zum einen hast du dich mit dem a vertippt, das muss eine 1 sein, aber der eigentliche Fehler steckt in der Berechnung des Integrals [mm] $\int{e^x\cdot{}1 \ dx}$ [/mm]

Es ist doch [mm] $e^x\cdot{}1=e^x$, [/mm] also [mm] $\int{e^x\cdot{}1 \ dx}=\int{e^x \ dx}=e^x+C$ [/mm]

Damit ergibt sich ....?

Du kannst deine Ergebnisse auch jederzeit selber prüfen:

Leite wieder ab, dann sollte der Integrand herauskommen ...

Gruß

schachuzipus

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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

ich dachte, dass eine Stammfunktion von 1 immer x wäre...????

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Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Mo 09.12.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> ich dachte, dass eine Stammfunktion von 1 immer x
> wäre...????

das hat nur leider mit der gegebenen Antwort überhaupt nichts zu tun. Du solltest dir dringend die Integrations- und sicherlich auch die Ableitungsregeln nocheinmal vornehmen. Deine Logik würde stimmen für

[mm] \int{(e^x+1) dx} [/mm]

aber sicherlich nicht für

[mm] \int{e^x*1 dx}=\int{e^x dx} [/mm]


Gruß, Diophant

 

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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

ja, klar. Das habe ich jetzt verstanden...:)

Zu b) da habe ich Folgendes raus: -x*cos(x)-sin(x)
das stimmt doch, oder?

Bezug
                                                        
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Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Mo 09.12.2013
Autor: MathePower

Hallo leasarfati,

> ja, klar. Das habe ich jetzt verstanden...:)
>
> Zu b) da habe ich Folgendes raus: -x*cos(x)-sin(x)
>  das stimmt doch, oder?


Nicht ganz.

Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:

[mm]-x*\cos\left(x\right)\blue{+}\sin\left(x\right)[/mm]


Gruss
MathePower

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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

okay, vielen Dank. bei c) habe ich folgendes raus:
= [mm] \bruch{1}{x}*x^4-\integral \bruch{1}{x}*4x^3 [/mm]
= [mm] \bruch{1}{x}*x^4-ln(x)*x^4 [/mm]

stimmt das?

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Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Mo 09.12.2013
Autor: leduart

Hallo
Nein!
1. bitte differenziere deine Ergebnisse!
2. zeig deinen Rechenweg, was ist u, was v' was u'. was v.
3. [mm] lnx^4=4*lnx [/mm]
Gruß leduart

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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

u'(x)= ln
[mm] v(x)=x^4 [/mm]

[mm] =1/x*x^4-\integral 1/x*4x^3 [/mm]
[mm] =1/x*x^4-ln(x)*x^4 [/mm]

Bezug
                                                                                        
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Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mo 09.12.2013
Autor: leduart

Hallo
nur weil du bei [mm] ln(x^4) [/mm] die Klammern -wie manchmal üblich wegläßt steht da doch kein Produkt, und was soll u(x)=ln denn bedeuten? was du gemacht hast ist ziemlich sinnfrei
Gru0 leduart

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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

Also ich schreibe jetzt mal meinen Rechenweg auf und dann wäre es toll, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Fehler liegt:

u'(x)=ln
[mm] v(x)=x^4 [/mm]

[mm] =1/x*x^4-\integral 1/x*4x^3 [/mm]
[mm] =1/x*x^4-ln(x)*x^4+C [/mm]

ist das richtig?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht


> Also ich schreibe jetzt mal meinen Rechenweg auf und dann
> wäre es toll, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein
> Fehler liegt:
>  
> u'(x)=ln
>  [mm]v(x)=x^4[/mm]
>  
> [mm]=1/x*x^4-\integral 1/x*4x^3[/mm]
>  [mm]=1/x*x^4-ln(x)*x^4+C[/mm]
>  
> ist das richtig?

[notok]

Du hast bereits von reverend den besten Tipp dazu bekommen!

Mit [mm] \ln(x^4)=4\ln(x) [/mm] gilt:

[mm] \integral{\ln(x^4) dx}=4\integral{\ln(x)dx}=4\integral{\ln(x)*1dx} [/mm]

Mit $u':=1$ und [mm] v:=\ln(x) [/mm] gilt nach partieller Integration?

Jetzt bist du dran!

DieAcht

Bezug
                                                                                                                
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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

wieso gilt u'=1?


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Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht

Das ist der "Trick" beim Natürlichen Logarithmus um das Integral durch partielle Integration zu erhalten.

Es gilt: [mm] \ln(x)=\ln(x)*1 [/mm]

DieAcht

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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

jetzt muss ich doch die partielle Integration auf das hier anwenden?:

[mm] 4\integral [/mm] ln(x)*1 dx oder? Aber wieso ist das Ganze nun vereinfacht? Hätte ich nicht auch mit der Ausgangsfunktion die partielle Integration anwenden können?

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Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht


> jetzt muss ich doch die partielle Integration auf das hier
> anwenden?:
>  
> [mm]4\integral[/mm] ln(x)*1 dx oder? Aber wieso ist das Ganze nun
> vereinfacht? Hätte ich nicht auch mit der Ausgangsfunktion
> die partielle Integration anwenden können?

reverend hat es dir bereits erklärt!

Nur weil wir "schlampigerweiße" keine Klammern setzen, heißt es nicht, dass folgendes gilt:

[mm] \ln x^4=\ln \cdot x^4 [/mm] (WAS AUCH IMMER DAS SEIN SOLL DAS IST FALSCH)

DieAcht


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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

jetzt bin ich total verwirrt; ich verstehe überhaupt nicht, wie man diese Aufgabe mit der Regel ausrechnet....:(( Kann mir das jemand nochmal genau erklären? (tut mir leid, wenn ich so blöd frage: Aber wer nicht fragt, bleibt dumm...)

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Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht

Du sollst hier selbst auf eine Lösung kommen.

Da ich aber heute einen guten Tag habe zeige ich dir das.

[mm] \integral{\ln(x^4) dx}=4\integral{\ln(x)*1dx}=4(x\ln(x)-\integral{x*\frac{1}{x}dx})=\ldots [/mm]

Zusammenfassen musst du selbst!

DieAcht

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

ja, weil ich selber darauf kommen will, möchte ich gerne wissen, wieso man den "Term" überhaupt umformt. Wieso kann ich nicht gleich die partielle Integration anwenden?

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Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht

Du brauchst für partielle Integration ein Produkt!

[mm] \ln(x^4) [/mm] - Wo siehst du hier ein Produkt der Form $u'(x)*v(x)$?

DieAcht

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

ah, ich verstehe:) Dann habe ich ja, so wie du netterweise mir gezeigt hast:
[mm] 4(x*ln(x)-\integralx*1/x [/mm] dx)

Dabei ist doch ln(x)= u(x) und 1=v'(x) oder?

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht


> ah, ich verstehe:) Dann habe ich ja, so wie du netterweise
> mir gezeigt hast:
>  [mm]4(x*ln(x)-\integralx*1/x[/mm] dx)

Keine Ahnung was du hier meinst.

>  
> Dabei ist doch ln(x)= u(x) und 1=v'(x) oder?

[ok]

DieAcht


Bezug
                                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mo 09.12.2013
Autor: leduart

Haööp
warum differenzierst du deine Ergebnisse nicht? was hast du jetzt für a) raus?
gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

für a) habe ich das raus:

[mm] =e^x*(x+1)-e^x+C [/mm]

ich differenziere das, jedoch möchte ich hier nochmal prüfen, ob ich mich nicht doch verrechnet habe!

Bezug
                                                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mo 09.12.2013
Autor: leduart

Hallo
richtig, aber das sollte man zusammenfassen.
gruß leduart

Bezug
                                                                                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

wie kann ich das zusammenfassen?
[mm] xe^x+e^x-e^x??? [/mm]

Bezug
                                                                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Mo 09.12.2013
Autor: fred97


> wie kann ich das zusammenfassen?
>  [mm]xe^x+e^x-e^x???[/mm]  

[mm] e^x-e^x=0 [/mm]

FRED


Bezug
                                                                                                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

aber bei dem ersten [mm] e^x [/mm] ist noch ein Malzeichen. Dann kann ich das doch nicht von dem anderen [mm] e^x [/mm] abziehen, oder?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Mo 09.12.2013
Autor: fred97

[mm] xe^x+e^x-e^x=xe^x+0 [/mm]

FRED

Bezug
        
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

bei d) habe ich folgendes raus:

[mm] u'(x)=e^x [/mm]
[mm] v(x)=x^2+1 [/mm]

[mm] =e^x*(x^2+1)-\integral e^x*2x [/mm]
[mm] =e^x*(x^2+1)-e^x*x^2 [/mm]

bei e) weiß ich nicht, wie ich da anfangen soll... Unser Lehrer meinte, wir sollen mit folgender "Formel" arbeiten: [mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm]

das verstehe ich aber nicht...:((

Bezug
                
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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

bei f) habe ich folgendes gerechnet:

[mm] [1/2x^2*e^-x]oben [/mm] 1 unten 0 - [mm] \integral_{0}^{1} 1/2x^2*(-e^-x)dx [/mm]

ist das richtig?

Bezug
                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht


> bei f) habe ich folgendes gerechnet:
>  
> [mm][1/2x^2*e^-x]oben[/mm] 1 unten 0 - [mm]\integral_{0}^{1} 1/2x^2*(-e^-x)dx[/mm]
>  
> ist das richtig?

[notok]

Setze [mm] $u':=e^{-x}$ [/mm] und $v:=x$.

Schachu hat dir bereits erklärt auf was du Achten musst beim Setzen von $u'$ und $v$!

DieAcht

Bezug
                                
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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

das verstehe ich nicht. Wir haben von unserem Lehrer folgende Formel bekommen:

[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f(x)*g(x) dx= [F(x)*g(x)]oben b unten a - [mm] \integral_{a}^{b}F(x)*g'(x) [/mm] dx

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Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht

Vergiss die Integrationsgrenzen und rechne zu erst (richtig) das Integral [mm] \integral{x*e^{-x} dx} [/mm] aus!

DieAcht

Bezug
                
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht


> bei d) habe ich folgendes raus:
>  
> [mm]u'(x)=e^x[/mm]
>  [mm]v(x)=x^2+1[/mm]
>  
> [mm]=e^x*(x^2+1)-\integral e^x*2x[/mm]

[notok] Das $dx$ fehlt!

[mm] e^x*(x^2+1)-\integral {e^x*2x dx} [/mm]

>  [mm]=e^x*(x^2+1)-e^x*x^2[/mm]

[notok] Du musst noch einmal partielle Integration verwenden!

>  
> bei e) weiß ich nicht, wie ich da anfangen soll... Unser
> Lehrer meinte, wir sollen mit folgender "Formel" arbeiten:
> [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm]
>  
> das verstehe ich aber nicht...:((

[mm] \cos^2(x)=1-\sin^2(x). [/mm]

Aber es gilt doch: [mm] \cos^2(x)=\cos(x)*\cos(x). [/mm] Weiter mir partieller Integration!

DieAcht

Bezug
                        
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

warum muss ich noch einmal partielle integration machen? für das [mm] e^x*(x^2+1)? [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht

Das hier ist kein Chat-Programm!

Deine Aufgabe ist es partielle Integration durchzuführen!

DieAcht

Bezug
                                        
Bezug
Partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Mo 09.12.2013
Autor: leasarfati

Tut mir leid, aber wenn ich das könnte, würde ich nicht hier um Hilfe bitten!

Bezug
                                                
Bezug
Partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 Mo 09.12.2013
Autor: DieAcht

Du hast gefragt, wieso du das mit partieller Integration machen musst. Das steht nun mal so in der Aufgabenstellung.

DieAcht

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