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Hallo. Ich habe ein kleines Problem bezüglich der Integration durch Substitution.
Meine Aufgabe lautet die Stammfunktion von folgender Fkt. zu berechnen:
[mm] f(x)=sin^3(x)cos(x)=sin(x)^3cos(x)
[/mm]
Ich würde dies mit der Integration durch Substitution berechnen.
Rechnung:
Substitution: u(x)=sin(x)=u
[mm] u'(x)=\bruch{du}{dx}=cos(x)\Rightarrowdx=\bruch{du}{cos(x)}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{u^3\bruch{du}{cos(x)}}=\integral_{}^{}{u^3du=\bruch{u^4}{4}}+C
[/mm]
Rücksubstitution: [mm] \bruch{u^4}{4}+C=\bruch{sin(x)^4}{4}+C
[/mm]
Also: [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{sin^3(x)cos(x)}=\bruch{sin(x)^4}{4}+C
[/mm]
Wäre das so richtig???
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Super dankeschön. Ja das hatte ich probiert allerdings kam da ganz was komisches raus. Hatte die Quotientenregel angewendet ist doch eigentlich nicht verkehrt oder?
Du sagst:
...Aufgepasst: es muss zwischendurch lauten: [mm] ...=\integral{u^3\cdot{}\red{\cos(x)} \bruch{du}{\cos(x)}}=...
[/mm]
[mm] \cdot{}\red{\cos(x)} [/mm] kommt doch daher, dass ich in meiner Ausgangsfunktion [mm] f(x)=sin^3(x)\cdot{}\red{\cos(x)} [/mm] zu stehen habe richtig?
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Hallo Domenigge!
> Hatte die Quotientenregel angewendet
> ist doch eigentlich nicht verkehrt oder?
Die  Quotientenregel ist hier nicht notwendig. Denn schließlich kannst Du die 4 als konstanten Faktor $ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $ vor $ [mm] \sin^4(x) [/mm] $ ziehen.
> [mm]\cdot{}\red{\cos(x)}[/mm] kommt doch daher, dass ich in meiner
> Ausgangsfunktion [mm]f(x)=sin^3(x)\cdot{}\red{\cos(x)}[/mm] zu
> stehen habe richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß vom
Roadrunner
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Ja natürlich. Habe ich garnicht drauf geachtet. Sorry.
Alles klar sag mal könntest du mir vielleicht erklären, in welchen Fällen ich die partielle Integration, die Integration durch Substitution anwende??? Bei beiden handelt es sich ja im Prinzip einmal um die Umkehrung der Produktregel (partielle Integration) und einmal um die umkehrung der Kettenregel (Integration durch Substitution).
Aber wann wende ich dann was an???
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Hallo Domenigge!
Das kann man so pauschal nicht sagen. Da gehört halt etwas Übung und "Auge" dazu.
Es kommt halt öfters vor, dass man auch erst beide Wege ausprobieren muss.
Wenn aber die Ableitung eines anderen (komplexeren) Termes als Faktor vorkommt, deutet es schon stark auf Substitution hin.
Gruß vom
Roadrunner
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Super ich bedanke mich vielmals für die Hilfe 
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Hallo. Ich habe jetzt leider noch ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
[mm] f(x)=\bruch{arctan(x)}{1+x^2}
[/mm]
Wäre es mir möglich diese Fkt. ebenfalls durch Integration durch Substitution als Stammfunkiton darzustellen?
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Hallo Domenigge!
Wähle hier $z \ := \ [mm] \arctan(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:55 Mi 23.01.2008 | | Autor: | domenigge135 |
Okay. Also ich hätte vielleicht eher [mm] 1+x^2 [/mm] gewählt...
...Könntest mir ja vielleicht gleich erklären warum nicht!
Alsu zur Rechnung (ich benutze wieder u statt z):
Da arctan(x) die Umkehrfkt. von tan(x) ist, kann man auch tan(x)^-^1 schreiben.
Substitution: u(x)=tan(x)^-^1=u
[mm] u'(x)=\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{1+x^2} \Rightarrowdx=du1+x^2
[/mm]
Es wäre wirklich net, wenn ihr mir bei dem Rest helfen könntet! Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Do 24.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo domenigge!
Ich verstehe gerade Dein Problem nicht. ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Du hast doch dieselbe Substitution gewählt wie von mir vorgeschlagen.
Gruß vom
Roadrunner
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