Partikulärer Lösungsansatz < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe folgendes gegeben:
[mm] \lambda_1=-3i
[/mm]
[mm] \lambda_2=3i
[/mm]
[mm] y_1=sin(3x)
[/mm]
[mm] y_2=cos(3x)
[/mm]
[mm] g(x)=e^{(3x)}*cos(x)
[/mm]
Nun ist der partikuläre Lösungsansatz [mm] y_p [/mm] zu ermitteln.
1) Schritt: Die Störfunktion g(x) wird als Produkt zweier Störfunktionen [mm] g_1(x) [/mm] sowie [mm] g_2(x) [/mm] betrachtet.
[mm] g_1(x)=e^{3x}
[/mm]
[mm] g_2(x)=cos(x)
[/mm]
Die partikuläre Lösung [mm] y_p [/mm] ist ebenso das Produkt der beiden partikulären Lösungsansätze [mm] y_{p1} [/mm] sowie [mm] y_{p2}.
[/mm]
2) Schritt: Ermittlung [mm] y_{p1}:
[/mm]
[mm] g_1(x)=e^{3x} [/mm] der Form [mm] e^{(cx)} [/mm] mit c=3
Also gilt [mm] c\not=\lambda [/mm] und der folgende Ansatz [mm] y_{p1}:
[/mm]
[mm] y_{p1}=A*e^{(3x)}
[/mm]
3) Schritt: Ermittlung [mm] y_{p2}
[/mm]
[mm] g_2(x)=cos(3x) [/mm] der Form [mm] cos(\beta*x) [/mm] mit [mm] \beta=3
[/mm]
Ich muss hier nun entscheiden ob [mm] \beta=\lambda [/mm] oder [mm] \beta\not=\lambda. [/mm] Ist es nun nicht so, dass bei komplexwertiger Nullstelle gilt [mm] j\omega=j\beta, [/mm] also [mm] \beta=\omega?
[/mm]
[mm] \lambda=0\pm3j [/mm] der Form [mm] \lambda=\alpha\pm\omega*j [/mm] mit [mm] \omega=3
[/mm]
Demnach wäre [mm] \beta=\omega [/mm] und es gilt der Ansatz:
[mm] y_p=x*[A*sin(\beta*x) [/mm] + [mm] B*cos(\beta*x)]
[/mm]
Laut meiner Lösung stimmt das aber nicht. Kann ich das mit [mm] \beta=\omega [/mm] hier nicht sagen?
Der Grund für meine Unsicherheit steht in der "Mathematischen Formelsammlung" (Papula) auf Seite 282 Pkt. 3. Dort ist von [mm] j*\beta [/mm] die Rede, welches zum Vergleich für diese Entscheidung herangezogen wird.
Gruß, Andreas
|
|
| |
|
Hallo Mathe-Andi,
> Hallo,
>
> ich habe folgendes gegeben:
>
> [mm]\lambda_1=-3i[/mm]
> [mm]\lambda_2=3i[/mm]
> [mm]y_1=sin(3x)[/mm]
> [mm]y_2=cos(3x)[/mm]
> [mm]g(x)=e^{(3x)}*cos(x)[/mm]
>
> Nun ist der partikuläre Lösungsansatz [mm]y_p[/mm] zu ermitteln.
>
> 1) Schritt: Die Störfunktion g(x) wird als Produkt zweier
> Störfunktionen [mm]g_1(x)[/mm] sowie [mm]g_2(x)[/mm] betrachtet.
>
> [mm]g_1(x)=e^{3x}[/mm]
> [mm]g_2(x)=cos(x)[/mm]
>
> Die partikuläre Lösung [mm]y_p[/mm] ist ebenso das Produkt der
> beiden partikulären Lösungsansätze [mm]y_{p1}[/mm] sowie [mm]y_{p2}.[/mm]
>
> 2) Schritt: Ermittlung [mm]y_{p1}:[/mm]
>
> [mm]g_1(x)=e^{3x}[/mm] der Form [mm]e^{(cx)}[/mm] mit c=3
>
> Also gilt [mm]c\not=\lambda[/mm] und der folgende Ansatz [mm]y_{p1}:[/mm]
>
> [mm]y_{p1}=A*e^{(3x)}[/mm]
>
> 3) Schritt: Ermittlung [mm]y_{p2}[/mm]
>
> [mm]g_2(x)=cos(3x)[/mm] der Form [mm]cos(\beta*x)[/mm] mit [mm]\beta=3[/mm]
>
> Ich muss hier nun entscheiden ob [mm]\beta=\lambda[/mm] oder
> [mm]\beta\not=\lambda.[/mm] Ist es nun nicht so, dass bei
> komplexwertiger Nullstelle gilt [mm]j\omega=j\beta,[/mm] also
> [mm]\beta=\omega?[/mm]
>
> [mm]\lambda=0\pm3j[/mm] der Form [mm]\lambda=\alpha\pm\omega*j[/mm] mit
> [mm]\omega=3[/mm]
>
> Demnach wäre [mm]\beta=\omega[/mm] und es gilt der Ansatz:
>
> [mm]y_p=x*[A*sin(\beta*x)[/mm] + [mm]B*cos(\beta*x)][/mm]
>
> Laut meiner Lösung stimmt das aber nicht. Kann ich das mit
> [mm]\beta=\omega[/mm] hier nicht sagen?
>
> Der Grund für meine Unsicherheit steht in der
> "Mathematischen Formelsammlung" (Papula) auf Seite 282 Pkt.
> 3. Dort ist von [mm]j*\beta[/mm] die Rede, welches zum Vergleich
> für diese Entscheidung herangezogen wird.
>
Wenn die Störfunktion Lösung der homogenen DGL sein soll,
dann müßte [mm]\lambda=3+j[/mm] eine Lösung der charakteristischen
Gleichung der DGL sein. Und das ist sie nicht.
> Gruß, Andreas
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Mathe-Andi |
Na klar, der Real- und Imaginäranteil je nachdem ob ich cos(x) oder sin(x) habe. Ich glaube ich habs wieder. Danke!
Gruß, Andreas
|
|
|
|
