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| Aufgabe | Zeigen sie,dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind,beschreiben sie die Äquivalenzklasse und bestimmen sie ein Vertretersystem
$a) [mm] R:=\{(x,y)\in \IR^2 :(x+y)(x-y)=0\}$
[/mm]
$b) [mm] R:=\{(x,y)\in \IR^2; \exists n \in \IZ $ mit $n \le x, y < n+1\}$ [/mm] |
$a) [mm] R:=\{(x,y)\in \IR^2 :(x+y)(x-y)=0\}$
[/mm]
reflexiv
$x [mm] \tilde [/mm] x [mm] \Rightarrow (2x)\cdot{}0=0$ [/mm] ist wahr
symetrisch $x [mm] \tilde{} [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \tilde{} [/mm] x $
$(x+y)(x-y)= [mm] x^2-y^2=0=y^2-x^2=(y+x)(y-x) \gdw [/mm] x=y $
transitiv
$x [mm] \tilde{} [/mm] y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \tilde{} [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \tilde{} [/mm] z$
$(x+y)(x-y)= [mm] x^2=y^2\wedge y^2=z^2 \Rightarrow x^2=z^2 [/mm] $
ist eine äqu.relation
[mm] $[0]=\{0\}$
[/mm]
[mm] $[-1]=[1]=\{\pm \sqrt{1}\}$
[/mm]
die äquivalenklasse sieht so aus
[mm] $[x]=\{y \in \IR| y= \sqrt{x} \vee y= -\sqrt{x}\}$
[/mm]
das vertretersystem ist dann Vertretersystem [mm] $=\{\{0\}\{y \in \IR| y= \sqrt{x} \vee y= -\sqrt{x}\}\}$
[/mm]
b)
hier wollte ich zeigen ,dass es eine partition gibt von $n [mm] \le [/mm] x, y < n+1 .$ mein problem ist kann ich $n$ und $n+1$ einfach in $2n$ und $2n+1 $sprich gerade und ungerade partitionieren?
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Hiho,
vorweg: [mm] \sim [/mm] machst du mit \sim
> symetrisch [mm]x \tilde{} y \Rightarrow y \tilde{} x[/mm]
>
> [mm](x+y)(x-y)= x^2-y^2=0=y^2-x^2=(y+x)(y-x) \gdw x=y [/mm]
Deine Notation ist unsauber. Warum sollte $0 = [mm] y^2 [/mm] - [mm] x^2$ [/mm] gelten?
Mach das deutlicher! Insbesondere ist dein [mm] \gdw [/mm] hinten falsch. Warum sollte [mm] $x\sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x=y$ gelten?
Dann wäre die Äquivalenzrelation recht sinnfrei....
> transitiv
>
> [mm]x \tilde{} y \wedge y \tilde{} z \Rightarrow x \tilde{} z[/mm]
>
> [mm](x+y)(x-y)= x^2=y^2\wedge y^2=z^2 \Rightarrow x^2=z^2[/mm]
Auch hier: Notation grauenhaft!
Die Gleichung: $(x+y)(x-y)= [mm] x^2=y^2$ [/mm] ist schlichtweg falsch.
Was du meinst ist: $(x+y)(x-y) = 0 [mm] \Rightarrow x^2=y^2$
[/mm]
> [mm][0]=\{0\}[/mm]
>
> [mm][-1]=[1]=\{\pm \sqrt{1}\}[/mm]
> die äquivalenklasse sieht so aus
>
>
> [mm][x]=\{y \in \IR| y= \sqrt{x} \vee y= -\sqrt{x}\}[/mm]
Aha, was soll da für $x=-10$ stehen?
Insbesondere kannst du dir das [mm] $y\in\IR$ [/mm] sparen, denn wie viele Elemente gibt es denn, die die hintere Eigenschaft erfüllen?
> b)
> hier wollte ich zeigen ,dass es eine partition gibt von [mm]n \le x, y < n+1 .[/mm] mein problem ist kann ich [mm]n[/mm] und [mm]n+1[/mm] einfach in [mm]2n[/mm] und [mm]2n+1 [/mm]sprich gerade und ungerade partitionieren?
Warum willst du das tun? Dann bekommst du ja gar nicht die gesamte Achse der natürlichen Zahlen.
Aber dein Ansatz zu zeigen, dass $[n,n+1) = [x], [mm] x\in[n,n+1)$ [/mm] gilt, ist schon mal gut.
Gruß,
Gono
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
symetrie
$ (x+y)(x-y)= 0$
$\gdw x^2-xy+yx -y^2=0$
$\gdw x^2-y^2=0$
$\gdw x^2=y^2$
$\gdw 0=y^2-x^2$
$\gdw 0=y^2-xy+yx-x^2$
$\gdw 0=(y+x)(y-x) $
trans.
$ (x+y)(x-y)= 0$
$\gdw x^2-xy+yx -y^2=0$
$\gdw x^2-y^2=0$
$\gdw x^2=y^2$
und
$ (y+z)(y-z)= 0$
$\gdw y^2-yz+zy -z^2=0$
$\gdw y^2-z^2=0$
$\gdw y^2=z^2$
$\Rightarrow x^2=y^2 \wedge y^2=z^2 \Rightarrow x^2=z^2 $
$x^2=z^2 $
$\gdw 0=x^2-z^2$
$\gdw 0=x^2-zx+xz-z^2$
$\gdw 0=(x+z)(x-z) $
ist eine Äquivalenzrel.
eine äquivalenklasse wäre
also die null ist in einer Äqui.klasse mit sich selbst [0]=\{0\}
und [x] wäre dann doch
x^2-y^2=0
$\gdw x^2-y^2=0$
$\gdw x^2=y^2$
$\Rightarrow y= \sqrt{x^2}= |x|$
also ist $[x]:=\{y=|x|\}$
und das vertretersystem ist $ := \{\{0\},\{ y=|x|\}\}$
b)
$ [n,n+1) = [x], x\in[n,n+1) $ muss gezeigt werden,dass dies eine partition ist
Bew.:
z.z $ b) R:=\{(x,y)\in \IR^2; \exists n \in \IZ $ ist eine Relation für die partition für $n\in \IZ P_n:=\{n,n+1\}$
also$[n,n+1) = [x] $
$1. P_n \neq \emptyset \forall n\in \IZ $
$\bigcup_{n \in \IZ }= \bigcup_{n \in \IN } \{n,n+1\} = \IZ$
und $P_n \cap P_m = \emptyset $ für $ n \neq m$ da $[n,n+1) \cap [m,m+1) = \emptyset$
$\Rightarrow P_n$ partition von $\IZ \Rightarrow P$ definiert eine Äquivalenzrelation auf $\IZ$ mit vertretersystem $:= \{n | n \in \IZ\}$
so gut?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 So 17.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> symetrie
>
> [mm](x+y)(x-y)= 0[/mm]
> [mm]\gdw x^2-xy+yx -y^2=0[/mm]
> [mm]\gdw x^2-y^2=0[/mm]
> [mm]\gdw x^2=y^2[/mm]
>
> [mm]\gdw 0=y^2-x^2[/mm]
> [mm]\gdw 0=y^2-xy+yx-x^2[/mm]
> [mm]\gdw 0=(y+x)(y-x)[/mm]
>
>
> trans.
>
> [mm](x+y)(x-y)= 0[/mm]
> [mm]\gdw x^2-xy+yx -y^2=0[/mm]
> [mm]\gdw x^2-y^2=0[/mm]
> [mm]\gdw x^2=y^2[/mm]
>
>
> und
>
> [mm](y+z)(y-z)= 0[/mm]
> [mm]\gdw y^2-yz+zy -z^2=0[/mm]
> [mm]\gdw y^2-z^2=0[/mm]
> [mm]\gdw y^2=z^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^2=y^2 \wedge y^2=z^2 \Rightarrow x^2=z^2[/mm]
>
> [mm]x^2=z^2[/mm]
> [mm]\gdw 0=x^2-z^2[/mm]
> [mm]\gdw 0=x^2-zx+xz-z^2[/mm]
> [mm]\gdw 0=(x+z)(x-z)[/mm]
>
> ist eine Äquivalenzrel.
ohje. Ich glaube, Du musst einfach mal sehen, wie man das sauber
aufschreibt. (Die "Fragen" und "Antworten" sind nur didaktisch, für Dich!)
> $ a) [mm] R:=\{(x,y)\in \IR^2 :(x+y)(x-y)=0\} [/mm] $
Zu zeigen: $R$ ist eine ÄR (genauer: Ist [mm] $R\,$ [/mm] eine ÄR auf [mm] $M:=\IR$?).
[/mm]
Reflexivität: Frage: Was ist zu zeigen?
Antwort: Es ist zu klären, ob
für alle $x [mm] \in M=\IR$(!!!) [/mm] gilt: $(x,x) [mm] \in \IR$?
[/mm]
Sei dazu $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig. Klar ist schonmal, dass dann $(x,x) [mm] \in \IR^2\,.$ [/mm] Nun
gilt [mm] $(x,\red{x}) \in \IR^2$ [/mm] genau dann, wenn
[mm] $(x+\red{x})*(x-\red{x})=0\,.$
[/mm]
Da für $x [mm] \in \IR$ [/mm] aber
[mm] $(x+\red{x})*(x-\red{x})=2x*0=0$
[/mm]
gilt, folgt somit, dass gilt:
[mm] $(x,\red{x}) \in \IR^2$ [/mm] und [mm] $(x+\red{x})*(x-\red{x})=0$,
[/mm]
was [mm] $(x,\red{x}) \in [/mm] R$ impliziert.
Da $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig war, folgt:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$: [/mm] $(x,x) [mm] \in [/mm] R$.
Also ist [mm] $R\,$ [/mm] reflexiv!
Den Beweis zur Symmetrie schreibe ich mal nicht ganz ausführlich auf,
sondern nur grob:
Für $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ gilt $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $(x+y)*(x-y)=0\,.$ [/mm]
Die Frage ist nun: Gilt für $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ schon auch $(y,x) [mm] \in [/mm] R$?
Zweifellos ist $(y,x) [mm] \in \IR^2\,.$ [/mm]
NACH VORAUSSETZUNG wissen wir
[mm] $(x+y)*(x-y)=0\,.$
[/mm]
ZU PRÜFEN ist, ob damit schon bei
[mm] $(y+x)*(y-x)\red{\,\stackrel{!}{=}\,}0$
[/mm]
das [mm] $\red{\,\stackrel{!}{=}\,}$ [/mm] ("soll gleich sein") durch [mm] $=\,$ [/mm] ersetzt werden darf.
Im Prinzip kann man bei $(x+y)*(x-y)=0$ starten und so rechnen, wie Du es oben
getan hast. Aber es geht einfacher
$(x+y)*(x-y)=0$ [mm] $\iff$ [/mm] $-(x+y)*(x-y)=-0$ [mm] $\iff$ [/mm] $(x+y)*(y-x)=0$ [mm] $\iff$ $(y+x)*(y-x)=0\,.$
[/mm]
Die [mm] "$\Longrightarrow$'s" [/mm] reichen dabei!
Die Transitivität mache ich nun ganz kurz:
$(x,y)$ und $(y,z)$ beide in [mm] $R\,$ [/mm] liefern neben $x,y,z [mm] \in \IR$ [/mm] auch
$(x+y)*(x-y)=0$ und [mm] $(y+z)*(y-z)=0\,.$
[/mm]
Da $(x,z) [mm] \in \IR^2$ [/mm] klar ist, ist, um $(x,z) [mm] \in [/mm] R$ einzusehen, nur noch zu zeigen,
dass in
$(x+z)*(x-z) [mm] \stackrel{!}{=}0$
[/mm]
das [mm] $\stackrel{!}{=}$ [/mm] durch [mm] $=\,$ [/mm] ersetzt werden darf. (Denn für $(x,z) [mm] \in \IR^2$ [/mm] gilt
genau dann $(x,z) [mm] \in [/mm] R$, wenn $(x+z)*(x-z)=0$ ist).
Und ja: Aus $(x+y)*(x-y)=0$ folgt [mm] $|x|=|y|\,,$ [/mm] weiter folgt aus $(y+z)*(y-z)=0$ auch [mm] $|y|=|z|\,.$
[/mm]
Daher
[mm] $|x|=|y|=|z|\,,$
[/mm]
also insbesondere
$|x|=|z|$
und damit
[mm] $|x|^2=x^2=z^2=|z|^2$
[/mm]
bzw. [mm] $x^2-z^2=0\,.$ [/mm] Der Rest ist 3. binomische Formel!
(Deine Rechnung dahingehend ist vielleicht sogar besser, da kürzer:
Du folgerst aus den Voraussetzungen direkt
[mm] $x^2=y^2=z^2$
[/mm]
und damit [mm] $x^2=z^2\,.$ [/mm] Der Rest geht dann wie oben mit der 3. bin. Formel!)
Jetzt zu [mm] $[\text{x}]$: [/mm] Per Definitionem (auch von [mm] $R\,$) [/mm] gilt
[mm] $[\text{x}]=\{ y \in M=\IR \;\;\mid (\text{x}+y)*(\text{x}-y)=0\}\,,$
[/mm]
wobei hier [mm] $\text{x}$ [/mm] FEST ist.
Behauptung: [mm] $[\text{x}]=\{y \in \IR \mid |y|=|x|\}=\{x,\;-x\}$.
[/mm]
In einer etwas übertiebenen Art beweise ich das mal vollständig:
Sei $y [mm] \in [\text{x}]$. [/mm] Dann gilt
[mm] $(\text{x}+y)*(x-y)=0$
[/mm]
und damit wegen der Nullteilerfreiheit von [mm] $\IR$
[/mm]
[mm] $y=-\text{x}$ [/mm] oder [mm] $y=\text{x}$.
[/mm]
So sehen wir
[mm] $[\text{x}] \;\subseteq\;\{\text{x},\;-\text{x}\}$ [/mm]
ein!
Umgekehrt: Für $r [mm] \in \{\text{x},\;-\text{x}\}$ [/mm] gilt: Ist [mm] $r=x\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $(\text{x}+r)*(\text{x}-r)=(\text{x}+\text{x})*(\text{x}-\text{x})=2*\text{x}*0=0$.
[/mm]
Ist andererseits [mm] $r=-\text{x}$, [/mm] so gilt
[mm] $(\text{x}+r)*(\text{x}-r)=(\text{x}+(-\text{x}))*(\text{x}-(-\text{x}))=0*(2*\text{x})=0$.
[/mm]
In allen Fällen also $r [mm] \in [\text{x}]$. [/mm] Also auch
[mm] $\{\text{x},\;-\text{x}\} \;\subseteq\;[\text{x}]$.
[/mm]
Insgesamt also Gleichheit!
HINWEIS: Natürlich kannst Du auch direkt sagen:
$r [mm] \in [\text{x}]$ [/mm]
[mm] $\iff$ $(\text{x},r) \in [/mm] R$
[mm] $\iff$ $(\text{x},r) \in \IR^2$ [/mm] UND [mm] $(\text{x}+r)*(\text{x}-r)=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $r=\text{x}$ [/mm] oder [mm] $r=-\text{x}$ [/mm] für [mm] $\text{x},r \in \IR$.
[/mm]
Verfolgung von [mm] $\Longrightarrow$'s [/mm] (von oben nach unten) liefert Dir
[mm] $[\text{x}]\; \subseteq\; \{\text{x},\;-\text{x}\}$,
[/mm]
und indem Du von unten nach oben gehst und die [mm] $\Longleftarrow$'s [/mm] verfolgst,
erkennst Du
$ [mm] \{\text{x},\;-\text{x}\}\; \subseteq\;[\text{x}]$.
[/mm]
P.S. Spare bitte NICHT an Worten bei Deinen Beweisen. Ich weiß zwar, was
Du da eigentlich machst, aber sagen tust Du das an keiner Stelle. Beweise
sollten nicht *bröckchenweise* präsentiert werden nach dem Motto: Den,
den es interessiert, der kann sich das auch selbst zusammenreimen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Di 19.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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