Pascal'sche Identität < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Sa 25.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Hallo zusammen
Für die Potenzsumme
[mm] S_{n}^{p}:= 1^{p}+2^{p}+3^{p}+.....+n^{p}
[/mm]
beweise man die von Pascal stammende Identität
[mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0} [/mm] = [mm] (n+1)^{p+1}-1
[/mm]
Man berechne damit [mm] S_{n}^{4}
[/mm]
Ich weiß bis jetzt eigentlich nur, dass man die Bernoullische Summenformel zur Hilfe nehmen könnte
Was wäre mein erster Schritt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Sa 25.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Weiß jemand den nächsten Schritt?
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> Hallo zusammen
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> Für die Potenzsumme
>
> [mm]S_{n}^{p}:= 1^{p}+2^{p}+3^{p}+.....+n^{p}[/mm]
>
> beweise man die von Pascal stammende Identität
>
> [mm](p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0}[/mm]
> = [mm](n+1)^{p+1}-1[/mm]
>
> Man berechne damit [mm]S_{n}^{4}[/mm]
>
> Ich weiß bis jetzt eigentlich nur, dass man die
> Bernoullische Summenformel zur Hilfe nehmen könnte
Hallo,
wie lautet diese Formel denn?
> Was wäre mein erster Schritt?
Das interessiert auch uns: was hast Du bisher alles versucht, wo lagen die Probleme?
Oder anders formuliert: so ein paar Lösungsansätze wären schon ganz nett.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mo 27.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Wieso steht nachstehende Mitteilung unter meiner Frage?
"Moderation: eigene Lösungsansätze fehlen, falsches Forum (Schule/Uni verwechselt)"
eigene Lösungsansätze fehlen????
Wieso denn, habe ich doch geschrieben!!!!!!
falsches Forum????
Wieso denn, ist doch im richtigen!!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 27.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Wieso steht nachstehende Mitteilung unter meiner Frage?
>
> "Moderation: eigene Lösungsansätze fehlen, falsches Forum
> (Schule/Uni verwechselt)"
>
> eigene Lösungsansätze fehlen????
Naja, ein paar ideen wären schon hilfreich.
[mm] S_{n}^{4} [/mm] ist doch:
[mm] 1^{4}+2^{4}+3^{4}+\ldots+n^{4}
[/mm]
Und schreib mal
$ [mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0} [/mm] $ als Summe der Form [mm] \summe_{j=\Box}^{\otimes}\ldots
[/mm]
> Wieso denn, habe ich doch geschrieben!!!!!!
Was?
>
> falsches Forum????
>
> Wieso denn, ist doch im richtigen!!!!!!
Das ist mit ziemlicher Sicherheit aber keine Schulaufgabe, sondern eine aus dem Universitätsbereich. Also sortiere die Frage doch direkt da ein
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mo 27.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Die Frage ist in dem Forum Uni-Analysis Induktion. Ist das falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
> Die Frage ist in dem Forum Uni-Analysis Induktion. Ist das
> falsch?
Sie wurde auch verschoben. Vorher befand sie sich in "Oberstufe".. :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Mo 27.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Weiß jemand mir etwas zu dem Moderationshinweis zu sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mo 27.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Siehe oben
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 27.07.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
man kann den Beweis mittels Induktion über n führen. Zu beweisen ist
[mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0}=(n+1)^{p+1}-1
[/mm]
Für den Ausdruck
[mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0}
[/mm]
gilt
[mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0}=\summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_n^k
[/mm]
Also ist zu beweisen
[mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_n^k=(n+1)^{p+1}-1
[/mm]
Den Induktionsanfang kann man leicht für n=0 prüfen.
Die Induktionsvoraussetzung lautet
[mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_{n-1}^k=n^{p+1}-1
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}n^k=(n+1)^{p+1}-n^{p+1} [/mm] gilt und außerdem noch gilt
[mm] S_n^k-S_{n-1}^k=n^k
[/mm]
folgt durch Addition
[mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_n^k=(n+1)^{p+1}-1
[/mm]
mfg ullim
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