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Peano Axiome: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:25 Do 21.04.2011
Autor: steve.joke

Aufgabe
Folgere aus den Peano-Axiomen, dass aus xy=2 folgt x=2 oder y=2.

Hallo, könnt ihr mir vielleicht hier helfen?

Habe gerade überhaupt keine Idee, wie man das mit den Axiomen zeigen könnte.

Die Axiome sind ja:

a) 0/1 ist eine (natürliche) Zahl.
b) Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
c) 0/1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.
d) Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt  n = m.
e) Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen

Wie kann man das jetzt drauf anwenden??

Grüße


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Peano Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Do 21.04.2011
Autor: leduart

Hallo
es fehlt noch wie das Produkt x*y definiert wurde.
und natürlich 2 ist nachfolger von 1
was  bedeutet deine Schreibweise 0/1  gehört 0 zu [mm] \IN [/mm] oder nicht?
Gruss leduart



Bezug
                
Bezug
Peano Axiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 Do 21.04.2011
Autor: steve.joke

Hi,

> was  bedeutet deine Schreibweise 0/1  gehört 0 zu $ [mm] \IN [/mm] $ oder nicht?

Nein, das sollte bedeuten 0 oder 1. Weil einige betrachten die 0 ja dazu, andere wieder nicht.

Das Produkt haben wir wie folgt definiert:

Für jedes a [mm] \in \IN [/mm] gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion [mm] G_a [/mm] mit

[mm] G_a(0)=0 [/mm] und [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm]

Für jedes a [mm] \in \IN [/mm] wird die Funktion [mm] G_a [/mm] gegeben durch

[mm] G_a(x)=ax. [/mm]

S bedeutet in diesem Falle:

Sei [mm] \IN [/mm] eine ausgezeichnete Menge und 0 [mm] \in \IN [/mm] ein Element aus [mm] \IN. [/mm] Weiter sei S: [mm] \IN \to \IN [/mm] eine Abbildung, für die gilt:

(1) 0 [mm] \not\in S(\IN) [/mm]
(2) S ist injektiv
(3) Sei A [mm] \subset \IN [/mm] mit 0 [mm] \in [/mm] A und für jedes a [mm] \in [/mm] A gelte S(a) [mm] \in [/mm] A. Dann ist [mm] A=\IN. [/mm]

Wir sagen, dass [mm] (\IN,0,S) [/mm] die natürlichen Zahlen sind.

(Das sind auch nochmal die Peano Axiome, so wie wir die aufgeschrieben haben).

Kannst du mir damit helfen??

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Peano Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Do 21.04.2011
Autor: leduart

Hallo
nach deiner def. von S(x) ist S(x) der nachfolger von x also x+ dann sieh dir die Def von [mm] G_a(x) [/mm] noch mal an und benutze 2=1+1
bzw 2=S(1)
gruss leduart



Bezug
                                
Bezug
Peano Axiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Sa 23.04.2011
Autor: steve.joke

Hi,

hierzu nochmal. Also ich kann dann sagen, sei 2 die Nachfolgezahl von 1, also S(1)=2.

Nach der Def.

> Für jedes a $ [mm] \in \IN [/mm] $ gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion $ [mm] G_a [/mm] $ mit

> $ [mm] G_a(0)=0 [/mm] $ und $ [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm] $

> Für jedes a $ [mm] \in \IN [/mm] $ wird die Funktion $ [mm] G_a [/mm] $ gegeben durch

> $ [mm] G_a(x)=ax. [/mm] $

folgt dann:

[mm] x*y=G_{S(1)}(S(1))=G_{S(1)}(1)+S(1)=G_{S(1)}(1)+2 [/mm]

hmmm, aber wie folge ich jetzt daraus x oder y=2?? und was mache ich mit [mm] G_{S(1)}(1)??? [/mm]


Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Peano Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Sa 23.04.2011
Autor: leduart

Hallo
x*y=1+1
[mm] G_1(S(1))=1+1 [/mm]  S(1)=2  [mm] G_1(2)=1*2=x*y [/mm]
Gruss leduart


Bezug
                                                
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Peano Axiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mo 25.04.2011
Autor: steve.joke

Hallo leduart,

ich muss hierzu leider immer noch was fragen, denn so richtig habe ich es noch nicht verstanden.

> $ [mm] G_a(0)=0 [/mm] $ und $ [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm] $, $ [mm] G_a(x)=ax. [/mm] $

Das war ja die Def.

> x*y=1+1
> $ [mm] G_1(S(1))=1+1 [/mm] $  S(1)=2  $ [mm] G_1(2)=1\cdot{}2=x\cdot{}y [/mm] $


D.h. ich muss zwei Sachen voraussetzen, einmal dass x*y=1+1 ist und S(1)=2 richtig?

Ich verstehe trotzdem nicht, wie du auf [mm] G_1(S(1))=1+1 [/mm] kommst, und daraus dann [mm] G_1(2)=1\cdot{}2=x\cdot{}y [/mm] folgerst.

Denn in der Def. von [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a [/mm] steht ja an zweiter Stelle [mm] G_a(x), [/mm] woher weiß ich aber, dass [mm] G_a(x) [/mm] bzw. [mm] G_1(1) [/mm] auch gleich 1 ist?

und wie folgerst du dann daraus [mm] G_1(2)=1\cdot{}2=x\cdot{}y?? [/mm]

Habe irgendwie gerade ein Brett vorm Kopf .....



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Peano Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mo 25.04.2011
Autor: leduart

Hallo
[mm] G_a(x)=a*x [/mm]  mit a=1 x=2 [mm] G_1(2)=1*2 [/mm]
$ [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm] $ wieder a=1 x=1 ergibt $ [mm] G_1(S(1))=G_1(1)+1=1*1+1. [/mm] $
Gruss leduart


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Peano Axiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Mo 25.04.2011
Autor: steve.joke

Hi Leduart,

aber hier passt doch was nicht, oder?

> [mm] G_a(x)=a\cdot{}x [/mm]  mit a=1 x=2 [mm] G_1(2)=1\cdot{}2 [/mm]

Ok, das ist ja nur einsetzen von a=1 und x=2.

> [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm] wieder a=1 x=1 ergibt

warum setzt du aber nun hier x=1, müsste doch x=2 wieder heißen, oder???

> [mm] G_1(S(1))=G_1(1)+1=1\cdot{}1+1. [/mm]

Das müsste dann wohl [mm] G_1(S(2))=G_1(1)+1 [/mm]

Jetzt wissen wir aber eigentlich gar nicht, was [mm] G_1(1) [/mm] ist. Muss man das aus x*y=1+1=2 schließen?

Und warum dann aus [mm] G_1(S(2))=G_1(1)+1=1+1 [/mm] gleich 1*2 folgen muss, verstehe ich auch noch nicht so :-/

verstehe auch eh noch nicht so ganz den Zusammenhang in der Def. zwischen [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a [/mm] und [mm] G_a(x)=a\cdot{}x.... [/mm]







Bezug
                                                                        
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Peano Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Mo 25.04.2011
Autor: leduart

Hallo
was x in der formel ist ist doch egal. vielleicht hät ich nicht x verwenden sollen sondern z oder z1 und z2
in die [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a [/mm]
kannst du doch für x und a jeden anderen buchstaben oder jede andere zahl einsetzen.
du musst dir klar machen, dass S(x) nach definition der Nachfolgervon x ist, in üblicher Schreibweise also s(x)=x+1
S(2)=3 kommt nirgends vor.
die zeile $ [mm] G_1(S(2))=G_1(1)+1 [/mm] $ ist nach Def falsch hier ist doch entsprechend deiner Formel x=2.
vielleicht solltest du bei S(x) wirklich an "successor=Nachfolger" denken, ich find eure Vorlesung hat das sehr umstandlich gemacht, die meisten Leute machen das einfache und definieren direkt n'=Nachfolger von n dieses n' ist dein S(n)
gruss leduart


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Peano Axiome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:38 Mo 25.04.2011
Autor: steve.joke

Hi,

vielen Dank für deine Geduld. Jetzt habe ich es verstanden ;-)

Grüße

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