Pell´sche Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Herr xy hat bei der Show "Schlag den Raab" gewonnen. Deswegen besitzt er jetzt ein Vermögen zwischen [mm] 10^6 [/mm] und [mm] 10^7 [/mm] Euro. In einem Gespräch konnten seine Freunde des Weiteren in Erfahrung bringen, dass sich sein Reichtum zum einen als eine Quadratzahl zum anderen als Summe von 1 bis m darstellen lässt. Wie groß ist sein Vermögen denn genau? |
also wir sollen anhand der infos eine eigene pell´sche gleichung aufstellen. mein problem liegt jetzt darin, dass ich 1.nicht ganz genau weiß, was ich wo einsetzen muss und 2. haben wir gelernt, dass, wenn eine quadratzahl mit vorhanden ist, es nur triviale lösungen gibt, also entweder gar keine oder x=+-1, y=0. deswegen komme ich nicht weiter, weil das ja irgendwie nicht passen kann, weil ja irgendeine zahl herauskommen muss zwischen [mm] 10^6 [/mm] u [mm] 10^7.
[/mm]
ich danke euch schon recht herzlich für eure hilfe! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 24.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Herr xy hat bei der Show "Schlag den Raab" gewonnen.
> Deswegen besitzt er jetzt ein Vermögen zwischen [mm]10^6[/mm] und
> [mm]10^7[/mm] Euro. In einem Gespräch konnten seine Freunde des
> Weiteren in Erfahrung bringen, dass sich sein Reichtum zum
> einen als eine Quadratzahl zum anderen als Summe von 1 bis
> m darstellen lässt. Wie groß ist sein Vermögen denn
> genau?
Hallo,
was das mit Herrn Pell zu tun haben soll, weiß ich nicht. Aber:
Die Summe von 1 bis m ist [mm] \bruch{m(m+1)}{2}
[/mm]
Wenn das eine Quadratzahl sein soll, muss eine der beiden Zahlen m und m+1 ein Quadratzahl und die andere das Doppelte einer Quadratzahl sein.
Gruß Abakus
> also wir sollen anhand der infos eine eigene pell´sche
> gleichung aufstellen. mein problem liegt jetzt darin, dass
> ich 1.nicht ganz genau weiß, was ich wo einsetzen muss und
> 2. haben wir gelernt, dass, wenn eine quadratzahl mit
> vorhanden ist, es nur triviale lösungen gibt, also
> entweder gar keine oder x=+-1, y=0. deswegen komme ich
> nicht weiter, weil das ja irgendwie nicht passen kann, weil
> ja irgendeine zahl herauskommen muss zwischen [mm]10^6[/mm] u [mm]10^7.[/mm]
> ich danke euch schon recht herzlich für eure hilfe! :)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:04 Do 25.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Herr xy hat bei der Show "Schlag den Raab" gewonnen.
> Deswegen besitzt er jetzt ein Vermögen zwischen [mm]10^6[/mm] und
> [mm]10^7[/mm] Euro. In einem Gespräch konnten seine Freunde des
> Weiteren in Erfahrung bringen, dass sich sein Reichtum zum
> einen als eine Quadratzahl zum anderen als Summe von 1 bis
> m darstellen lässt. Wie groß ist sein Vermögen denn
> genau?
> also wir sollen anhand der infos eine eigene pell´sche
> gleichung aufstellen. mein problem liegt jetzt darin, dass
> ich 1.nicht ganz genau weiß, was ich wo einsetzen muss und
> 2. haben wir gelernt, dass, wenn eine quadratzahl mit
> vorhanden ist, es nur triviale lösungen gibt, also
> entweder gar keine oder x=+-1, y=0. deswegen komme ich
> nicht weiter, weil das ja irgendwie nicht passen kann, weil
> ja irgendeine zahl herauskommen muss zwischen [mm]10^6[/mm] u [mm]10^7.[/mm]
> ich danke euch schon recht herzlich für eure hilfe! :)
Du musst die Gleichung [mm] $\frac{m (m + 1)}{2} [/mm] = [mm] n^2$ [/mm] loesen mit $n, m$ ganzzahlig mit [mm] $10^6 \le n^2 \le 10^7$.
[/mm]
Das kannst du etwas umformen. Und zwar ist $m (m + 1) = [mm] m^2 [/mm] + m = (m + [mm] 1/2)^2 [/mm] - 1/4$.
Also hast du da stehen [mm] $\frac{(m + 1/2)^2 - 1/4}{2} [/mm] = [mm] n^2$. [/mm] Mit 8 multiplizieren und umstellen liefert $(2 m + [mm] 1)^2 [/mm] - 8 [mm] n^2 [/mm] = 1$. Setze $p := 2 m + 1$.
Dann hast du die Pellsche Gleichung [mm] $p^2 [/mm] - 8 [mm] n^2 [/mm] = 1$. Gesucht sind Loesungen $p, n [mm] \in \IZ$ [/mm] (oder genauer: $p$ soll ungerade sein) mit [mm] $10^6 \le n^2 \le 10^7$.
[/mm]
Dann leg mal los...
LG Felix
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