Perfect Square < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Show that there does not exist any triple of integers (x,y,z) different from (0,0,0) such that [mm] 2x^{4}-3y^{4}-6z^{4} [/mm] is a perfect square.
c) Assuming that (x,y,z) is a primitive triple of integers susch that [mm] 2x^{4}-3y^{4}-6z^{4} [/mm] is a perfect square, show that x,y,z must all be odd. |
Hallo Zusammen
Ich soll die obige Aussage zeigen. Die Aufgabe wurde in 4 Teile gegliedert, die aufeinander aufbauen. Nun ist Teil c) dran. Bisher habe ich (erfolgreich) bewiesen:
a) If ther exists (x,y,z) such that [mm] 2x^{4}-3y^{4}-6z^{4} [/mm] is a perfect square, there must exist a primitive triple (x',y',z') such that x'^{4}-3y'^{4}-6z'^{4} is a perfect square.
b) Show, if [mm] x^{4}-3y^{4}-6z^{4} [/mm] is a perfect square, then [mm] 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}-y^{2}-z^{2}) [/mm] is a sum of two squares.
Diese Resultate dürfen also mittlerweile benutzt werden..
Teil c) schaffe ich allerdings nicht. Wenn ich das Gegenteil behaupte, habe ich zu viele Wiedersprüche zu führen.. Auch mit Teil b) habe ich nichts erreichen können..
Wie kann ich hier ansetzen?
Grüsse, amaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Fr 16.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Show that there does not exist any triple of integers
> (x,y,z) different from (0,0,0) such that
> [mm]2x^{4}-3y^{4}-6z^{4}[/mm] is a perfect square.
>
> c) Assuming that (x,y,z) is a primitive triple of integers
> susch that [mm]2x^{4}-3y^{4}-6z^{4}[/mm] is a perfect square, show
> that x,y,z must all be odd.
>
> Hallo Zusammen
>
> Ich soll die obige Aussage zeigen. Die Aufgabe wurde in 4
> Teile gegliedert, die aufeinander aufbauen. Nun ist Teil c)
> dran. Bisher habe ich (erfolgreich) bewiesen:
>
> a) If ther exists (x,y,z) such that [mm]2x^{4}-3y^{4}-6z^{4}[/mm] is
> a perfect square, there must exist a primitive triple
> (x',y',z') such that x'^{4}-3y'^{4}-6z'^{4} is a perfect
> square.
Du brauchst nur das hier.
Schau dir die Gleichung modulo 16 an.
Erstmal: [mm] $x^4, y^4, z^4$ [/mm] sind dann jeweils 0 oder 1. Sie koennen nicht alle 0 sein, da das Tripel sonst nicht primitiv ist.
Die Quadrate modulo 16 sind 0, 1 = -15, 4 = -12, 9 = -7. Damit kannst du eine Wertetabelle machen (mit 8 Zeilen, jeweils fuer alle Moeglichkeiten, die [mm] $x^4, y^4, z^4$ [/mm] annehmen koennen) und du siehst, dass das Ergebnis nur dann ein Quadrat ist, wenn [mm] $(x^4, y^4, z^4) \in \{ (0, 0, 0), (1, 1, 1) \}$ [/mm] ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 So 18.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Danke Felix!
Ich werde dann die Tabelle machen und stelle sie hier rein.. aber in der zwischenzeit noch ne kurze Frage..
Wie hätte ich auf die Idee kommen können, das ganze (mod 16) anzuschauen? Ist es nur Erfahrung? ^^
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:49 So 18.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | d) Use the characterization of sums of two squares to deduce that there is no primitive triple of integers (x,y,z) such that [mm] 2x^{4}-3y^{4}-6z^{4} [/mm] is a perfect square. |
Hallo
Gut, ich habe die Tabelle gemacht (siehe frühere Beiträge) und jetzt sehe ich, dass für (x,y,z) = (0,0,0) 0 rauskommt, für (x,y,z) = (1,1,1) kommt -7 raus. Da (0,0,0) nicht sein kann, bleibt nur (1,1,1) übrig, was (mod 16) nur ungerade sein kann. (Der rest gibt keine Quadrate)
Jetzt kommt die letzte Teilaufgabe (siehe Aufgaben-Box)
Zuerst mal zur charakterisierung der Summe zweier Quadrate. Ich habe in Teilaufgabe b) ja bewiesen:
If [mm] 2x^{4}-3y^{4}-6z^{4} [/mm] is a perfect square [mm] \Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}-y^{2}-z^{2}) [/mm] is the sum of two squares.
Ich habe nach Umformungen usw. rausgekriegt:
[mm] 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}-y^{2}-z^{2}) [/mm] = [mm] (2x^{4}-3y^{4}-6z^{4})+(y^{2}-2z^{2})^{2}
[/mm]
Setze ich (1,1,1) ein, erhalte ich [mm] (2x^{4}-3y^{4}-6z^{4})+(y^{2}-2z^{2})^{2} [/mm] = -6 , der erste Term erbigt dabei -7, der zweite Term ergibt 1, beides Quadrate (mod 16) ist... also kein Wiederspruch!
Wie soll ich denn hier diese charakterisierung nutzen?
Danke für die Hilfe!!
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Was natürlich auch sein kann (und ich werde mich gleich dran machen es auszuprobieren), ist dass man die Summe zweier quadrate so characterisieren muss, dass:
n = [mm] r^{2}+s^{2} \Leftrightarrow x^{2} \equiv [/mm] -1 (mod n) ist lösbar
Oder, dass die exponenten der Primfaktoren von n, die [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 4) sind, gerade sein müssen.
Nur so, falls sich jemand auch an die Aufgabe versuchen möchte :)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | d) Use the characterization of sums of two squares to deduce that there is no primitive triple of integers (x,y,z) such that [mm] 2x^{4}-3y^{4}-6z^{4} [/mm] is a perfect square. |
Hallo
Entschuldigt diesen Post, aber ich habe neue Resultate.. von mir aus kann die letzte (nicht beantwortete) Frage auf grün geschaltet werden.. :)
So, zur Aufgabe. Ich weiss bisher (Teilaufgaben a,b und c, bereits bewiesen):
(1) [mm] (2x^{4}-3y^{4}-6z^{4}) [/mm] = [mm] r^{2} \Rightarrow \exists (\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}), ggT(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}) [/mm] = 1, so dass [mm] (2\tilde{x}^{4}-3\tilde{y}^{4}-6\tilde{z}^{4}) [/mm] ist ein Quadrat.
(2) [mm] (2x^{4}-3y^{4}-6z^{4}) [/mm] + [mm] (y^{2}-2z^{2})^{2} [/mm] = [mm] 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}-y^{2}-z^{2}) [/mm] ist Summe zweier Quadrate.
(3) (x,y,z) müssen alle ungerade sein.
Die Charakterisierung der Summe zweier Quadrate, die ich benutzen will, ist:
n [mm] \in \IZ [/mm] lässt sich als Summe zweier teilerfremder Quadrate schreiben, falls die Kongruenz [mm] u^{2} \equiv [/mm] -1 (mod n) lösbar ist.
Hierzu brauche ich zunächst Punkt (2). Die Summanden müssen da teilerfremd sein. Ich habe das ganze wieder (mod 16) angeschaut, heraus springt für [mm] r^{2} [/mm] = 9, [mm] s^{2} [/mm] = 1: r [mm] \in \{3,5,11,13\}, [/mm] s [mm] \in \{1,7,9,15\}. [/mm] Hier müsste ich also gewisse Kombinationen noch ausschliessen..
Ich habe es nun allerdings nicht hingekriegt zu zeigen, dass [mm] u^{2} \equiv [/mm] -1 (mod n) keine Lösungen hat.. stecke hier also fest.
Kann mir jemand den nächsten Schritt (vorausgesetzt, der bisherige Weg ist richtig..) weisen?
Danke für eure Mühe.
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mi 21.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
