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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Fr 06.05.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $p\in \mathbb{P}$ [/mm] so gewählt, dass auch [mm] $2^p-1\in \mathbb{P}$ [/mm] ist. Man zeige nun, dass die Bedingung $n:= [mm] 2^{p-1}(2^p-1)\Rightarrow \sum_{d|n}d [/mm] = 2n $ stets erfüllt ist. |
Ich habe Beispiele gefunden.
So ist etwa $8128 = [mm] 1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2\cdot127 +2^2\cdot [/mm] 127 [mm] +2^3^\cdot [/mm] 127 + [mm] 2^4^\cdot [/mm] 127 + [mm] 2^5^\cdot [/mm] 127 + 127 $. Also ist hier erfüllt, dass die Summe der Teiler dieser Zahl, außer die Zahl selbst, sich wieder selbst ergibt (ich finde diese Eigenschaft wunderschön).
Aus diesem Beispiel sollte sich meiner Meinung nach ein Lösungsschema ableiten lassen. Jedoch gilt ja in der Voraussetzung, dass [mm] $2^p-1$ [/mm] auch prim sein muss. D.h., es ist unmöglich in weitere (Prim-)Faktoren zu zerlegen. Aber dann kann man doch auch nicht die Teiler (allgemein) addieren!?
Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich die Teiler von $n$ allgemein herleiten könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Fr 06.05.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es sei [mm]p\in \mathbb{P}[/mm] so gewählt, dass auch [mm]2^p-1\in \mathbb{P}[/mm]
> ist. Man zeige nun, dass die Bedingung [mm]n:= 2^{p-1}(2^p-1)\Rightarrow \sum_{d|n}d = 2n[/mm]
> stets erfüllt ist.
> Ich habe Beispiele gefunden.
> So ist etwa [mm]8128 = 1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2\cdot127 +2^2\cdot 127 +2^3^\cdot 127 + 2^4^\cdot 127 + 2^5^\cdot 127 + 127 [/mm].
> Also ist hier erfüllt, dass die Summe der Teiler dieser
> Zahl, außer die Zahl selbst, sich wieder selbst ergibt
> (ich finde diese Eigenschaft wunderschön).
>
> Aus diesem Beispiel sollte sich meiner Meinung nach ein
> Lösungsschema ableiten lassen. Jedoch gilt ja in der
> Voraussetzung, dass [mm]2^p-1[/mm] auch prim sein muss. D.h., es ist
> unmöglich in weitere (Prim-)Faktoren zu zerlegen. Aber
> dann kann man doch auch nicht die Teiler (allgemein)
> addieren!?
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> Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich die Teiler von [mm]n[/mm]
> allgemein herleiten könnte?
Naja, die Teiler zerfallen in 2 disjunkte Untermengen: Sie können [mm] 2^{p}-1 [/mm] als Faktor enthalten oder nicht. Eben, weil [mm] 2^{p}-1 [/mm] auch wieder prim sein soll. Und dann kannst du mit der geometrischen Summenformel rechnen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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