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| Aufgabe | Ein bayerischer Maßkrug hat einen Rauminhalt von genau einem
Liter. Die Form des Kruges ist exakt zylindrisch; im Rahmen dieses mathematischen
Modells verzichten wir auf einen Henkel und vernachlässigen die Dicke der Wände.
Bestimmen Sie Höhe und Radius des optimalen Bierkruges, also des Kruges mit minimalem
Materialverbrauch. |
Ich will nur sichergehen, dass ich nicht zu naiv an die Sache herangehe.
Ich würde es im Grunde so berechnen. Ich habe zwei Formeln, die für das Volumen eines Zylinders und die für die Oberfläche eines Zylinders Minus der oberen Kreisfläche.
Ich leite die Formel für die Oberfläche ab und setzte es gleich Null (zur Maximums/Minimumsberechnung).
Nun habe ich ja zwei Formel mit zwei Unbekannten (nämlich den Radius und die Höhe), die ich dann "gemütlich" berechnen könnte. Die Werte die dann sinnvoll sind nehme ich als Ergebnis.
Wäre das der richtige Weg oder wäre das zu einfach für eine Analysis II Aufgabe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 02.06.2009 | | Autor: | moody |
Hallo,
> Ich würde es im Grunde so berechnen. Ich habe zwei Formeln,
> die für das Volumen eines Zylinders und die für die
> Oberfläche eines Zylinders Minus der oberen Kreisfläche.
> Ich leite die Formel für die Oberfläche ab und setzte es
> gleich Null (zur Maximums/Minimumsberechnung).
> Nun habe ich ja zwei Formel mit zwei Unbekannten (nämlich
> den Radius und die Höhe), die ich dann "gemütlich"
> berechnen könnte. Die Werte die dann sinnvoll sind nehme
> ich als Ergebnis.
Das wäre so der richtige Weg. Bei Rückfragen einfach melden.
lg moody
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Di 02.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mirage.Mirror!
Durch das gegebene Volumen hast Du doch eine Nebenbedingung, welche Du in die Hauptbedingung (= Oberflächenformel) einsetzen kannst.
Damit erhältst Du eine Zielfunktion mit nur einer Unbekannten.
Gruß
Loddar
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So, ich bin an einem Problem angekommen:
Ich habe folgende Gleichungen:
Volumen:
r² [mm] \pi [/mm] h = 1000
Oberfläche:
[mm] 2r\pi [/mm] h+ [mm] r²\pi
[/mm]
diese leite ich nun ab und erhalte:
2 [mm] \pi [/mm] h + [mm] 2r\pi [/mm] + [mm] 2r\pi
[/mm]
Ich setzte da gleich 0, weil ich ja ein Minimum haben will
Nun löse ich die Volumengleichung auf:
h= [mm] \bruch{1000}{r²\pi}
[/mm]
Ich setzte ein und erhalte irgendwie Unsinn:
[mm] \bruch{1000}{r²} [/mm] + [mm] 4r\pi [/mm] = 0
1000 = -4 [mm] \pi [/mm] r³
r³ = [mm] \bruch{-250}{\pi}
[/mm]
Verrechnet oder komplett falsch?
edit:
Habe den Fehler gefunden.
Erst Einsetzen, dann ableiten 
Klappt alles.
Ich komme auf Radius und Höhe sind gleich ca 6,83
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Mi 03.06.2009 | | Autor: | moody |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das erhalte ich ebenfalls.
lg moody
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