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Ich soll die Periodenlänge des Bruches 1/17 im Dezimalsystem und im 7er-System angeben. Den Satz, den ich dafür verwende besagt, dass meine Periodenlänge genau die Zahl k ist, für die gilt 17 teilt [mm] 10^k-1. [/mm] Ich bekomme dann:
[mm] \frac{10^k-1}{17}=n [/mm] mit n [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 10^k-17*n=1
[/mm]
aber das kann ich nicht auflösen. Kann mir jemand sagen, wie das funktioniert?
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Hallo Balendilin,
> Ich soll die Periodenlänge des Bruches 1/17 im
> Dezimalsystem und im 7er-System angeben. Den Satz, den ich
> dafür verwende besagt, dass meine Periodenlänge genau die
> Zahl k ist, für die gilt 17 teilt [mm]10^k-1.[/mm] Ich bekomme
> dann:
> [mm]\frac{10^k-1}{17}=n[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow 10^k-17*n=1[/mm]
>
> aber das kann ich nicht auflösen. Kann mir jemand sagen,
> wie das funktioniert?
Löse hier lieber die Kongruenz
[mm]10^{k} \equiv 1 \ \operatorname{mod} \ 17[/mm]
Dazu gibt es einen Satz, der konkrete Aussagen macht,
für welches k dies erfüllt ist.
Gruss
MathePower
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> Löse hier lieber die Kongruenz
>
> [mm]10^{k} \equiv 1 \ \operatorname{mod} \ 17[/mm]
>
> Dazu gibt es einen Satz, der konkrete Aussagen macht,
> für welches k dies erfüllt ist.
Aha! Kannst du mir bitte sagen, wie dieser Satz lautet? Ich kenne ihn nämlich nicht.
Vielen Dank!
Viele Grüße,
Balendilin
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Hallo Balendilin,
es sollte mich wundern, wenn Du den Satz nicht kennst.
Tipp 1) 17 ist prim.
Tipp 2) Daher sind 10 und 17 teilerfremd, und ganz nebenbei: 10<17.
Da gibt es doch so einen Satz, der heißt [mm] a^{dingenskirchen}\equiv{1}\mod{p}
[/mm]
Er wurde von einem adligen Juristen mit Vornamen Pierre gefunden.
Das gilt zwar für eine Reihe von Sätzen, aber eigentlich werden nur zwei mit seinem Namen zitiert, nämlich ein kleiner und ein großer Satz.
lg
reverend
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Ach klar, den kleinen Fermatschen Satz kenne ich in der Tat:
[mm] a^{p-1}=1 [/mm] mod p
wobei p eine Primzahl ist.
Wenn mich jetzt aber nicht alles täuscht, würde das aber doch bedeuten, dass 1/19 in allen vier Zahlsystemen die selbe Periodenlänge besitzt (für das 2er, 3er, 10er-System stimmt das auch). Im 7er-System ist die Periodenlänge aber nur 3 (denn [mm] 7^3-1=0 [/mm] mod 19). Woran liegt das nun schon wieder?
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Hallo Balendilin,
gut beobachtet. Der "kleine Fermat" und der Satz, den Du laut Deiner ersten Frage in diesem Thread verwenden wolltest, sind verwandt, aber nicht identisch.
Der kleine Fermat findet nicht automatisch das kleinste k, er liefert Dir nur eine maximale Periodenlänge. Die tatsächliche Periodenlänge muss nun ein Teiler dieser maximalen Periodenlänge sein.
[mm] \bruch{1}{19} [/mm] hat auch im 11er-System nur eine Periodenlänge von 3. Das ist kein Zufall, denn [mm] 7*7\equiv 11\mod{19}.
[/mm]
Überhaupt hat [mm] \bruch{1}{19} [/mm] recht verschiedene Periodenlängen zu Basen<19:
[mm] \begin{matrix}
\text{Basis} & \text{Periode} \\
2 & 18 \\
3 & 18 \\
4 & 9 \\
5 & 9 \\
6 & 9 \\
7 & 3 \\
8 & 6 \\
9 & 9 \\
10 & 18 \\
11 & 3 \\
12 & 6 \\
13 & 18 \\
14 & 18 \\
15 & 18 \\
16 & 9 \\
17 & 9 \\
18 & 2
\end{matrix}
[/mm]
Herzliche Grüße
reverend
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