Periodische Funktion < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \mbox\\f(x-4n), & \mbox{für } x>2 mit \mbox\\\end{cases}
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} f(x+4n), & \mbox{für } x<2 \mbox\\\end{cases}
[/mm]
(sorry für die Darstellung aber ich kenne den Befehl nicht um die Fallweise Definition zu verlängern)
[mm] n\varepsilon\IN [/mm] und der Periode p=4.
Aufgabe a) Skizzieren Sie f(x) für [mm] x\varepsilon[-6;6].
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}
[/mm]
Aufgabe b)
Bestimmen Sie die Koeffizienten für
[mm] f(x)\approx\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}*cos(\bruch{2\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2\pi}{p}*x)+a_{2}*cos(\bruch{4\pi}{p}*x)+b_{2}*sin(\bruch{4\pi}{p}*x) [/mm] |
Schönen guten Abend alle miteinander,
zu Aufgabenteil a) für x muss ich ja das Interval von -6 bis +6 einsetzen aber was setze ich für n ein?
[mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] gehören ja mit Sicherheit zu Aufgabenteil b)
Zum Aufgabenteil b) Berechnung der Koeffizienten
[mm] \bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{p}{f(x) dx} =\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{4}{f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{a_{0}}{2}*4 [/mm] - [mm] \bruch{a_{0}}{2}*0
[/mm]
[mm] =2a_{0}
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{2}{4}\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}*x) dx}
[/mm]
Stimmt meine Berechnung für [mm] a_{0} [/mm] und stimmt der Ansatz für die Berechnung von [mm] a_{1}?
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> Gegeben sei die Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \mbox\\f(x-4n), & \mbox{für } x>2 mit \mbox\\\end{cases}[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} f(x+4n), & \mbox{für } x<2 \mbox\\\end{cases}[/mm]
>
So vielleicht:
[mm]f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \\ f(x-4n), & \mbox{für } x>2 \\ f(x+4n), & \mbox{für } x<-2 \end{cases}[/mm]
> (sorry für die Darstellung aber ich kenne den Befehl nicht
> um die Fallweise Definition zu verlängern)
>
> [mm]n\varepsilon\IN[/mm] und der Periode p=4.
>
> Aufgabe a) Skizzieren Sie f(x) für [mm]x\varepsilon[-6;6].[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}[/mm]
>
> [mm]b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}[/mm]
>
> Aufgabe b)
>
> Bestimmen Sie die Koeffizienten für
>
> [mm]f(x)\approx\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}*cos(\bruch{2\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2\pi}{p}*x)+a_{2}*cos(\bruch{4\pi}{p}*x)+b_{2}*sin(\bruch{4\pi}{p}*x)[/mm]
> Schönen guten Abend alle miteinander,
>
> zu Aufgabenteil a) für x muss ich ja das Interval von -6
> bis +6 einsetzen aber was setze ich für n ein?
>
Ich denke das n ist so zu wählen,
daß im Fall x > 2: [mm]x-4n \in \left[-2,2\right][/mm]
und im Fall x < -2:[mm]x+4n \in \left[-2,2\right][/mm]
> [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] gehören ja mit Sicherheit zu Aufgabenteil
> b)
>
> Zum Aufgabenteil b) Berechnung der Koeffizienten
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{p}{f(x) dx} =\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{4}{f(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{a_{0}}{2}*4[/mm] - [mm]\bruch{a_{0}}{2}*0[/mm]
>
> [mm]=2a_{0}[/mm]
>
>
> [mm]a_{1}=\bruch{2}{4}\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}*x) dx}[/mm]
>
>
> Stimmt meine Berechnung für [mm]a_{0}[/mm] und stimmt der Ansatz
> für die Berechnung von [mm]a_{1}?[/mm]
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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Hallo JamesDean,
> Gegeben sei die Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \mbox\\f(x-4n), & \mbox{für } x>2 mit \mbox\\\end{cases}[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} f(x+4n), & \mbox{für } x<2 \mbox\\\end{cases}[/mm]
>
> (sorry für die Darstellung aber ich kenne den Befehl nicht
> um die Fallweise Definition zu verlängern)
>
> [mm]n\varepsilon\IN[/mm] und der Periode p=4.
>
> Aufgabe b)
>
> Bestimmen Sie die Koeffizienten für
>
> [mm]f(x)\approx\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}*cos(\bruch{2\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2\pi}{p}*x)+a_{2}*cos(\bruch{4\pi}{p}*x)+b_{2}*sin(\bruch{4\pi}{p}*x)[/mm]
> Schönen guten Abend alle miteinander,
>
> zu Aufgabenteil a) für x muss ich ja das Interval von -6
> bis +6 einsetzen aber was setze ich für n ein?
>
n durchläuft alle natürlichen Zahlen.
> [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] gehören ja mit Sicherheit zu Aufgabenteil
> b)
>
> Zum Aufgabenteil b) Berechnung der Koeffizienten
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{p}{f(x) dx} =\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{4}{f(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{a_{0}}{2}*4[/mm] - [mm]\bruch{a_{0}}{2}*0[/mm]
>
> [mm]=2a_{0}[/mm]
>
[mm]a_{0}[/mm] ist doch ein bestimmter Wert.
>
> [mm]a_{1}=\bruch{2}{4}\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}*x) dx}[/mm]
>
Das stimmt nicht.
[mm]a_{1}=\bruch{2}{4}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}*x) dx}[/mm]
>
> Stimmt meine Berechnung für [mm]a_{0}[/mm] und stimmt der Ansatz
> für die Berechnung von [mm]a_{1}?[/mm]
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | So dann fangen wir mal an...
Erstens danke für die Formatierungshilfe.
Zweitens "Das n im Integranden durchläuft alle natürlichen Zahlen."
[mm] f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \\ f(x-4n), & \mbox{für } x>2 \\ f(x+4n), & \mbox{für } x<-2 \end{cases}
[/mm]
Vielleicht verstehe ich was falsch aber in den obigen Funktionen gibt es doch garkein Integral... Oder muss man f(x) für die verschiendenen Fälle in die rot markierten Stellen einsetzen und daraus das Integral bilden?
[mm] a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{\red{f(x)}\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{p}\cdot{}nx) dx}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{\red{f(x)}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{p}\cdot{}nx) dx} [/mm]
Drittens Berechnung von [mm] a_{0}=\bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{p}{f(x) dx} [/mm]
Stimmt [mm] a_{0} [/mm] jetzt?
Viertens Berechnung von [mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx}
[/mm]
Muss ich für [mm] \red{f(x)} [/mm] noch was einsetzen? |
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> So dann fangen wir mal an...
>
> Erstens danke für die Formatierungshilfe.
>
> Zweitens "Das n im Integranden durchläuft alle
> natürlichen Zahlen."
Ich habe diese Antwort korrigiert.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \\ f(x-4n), & \mbox{für } x>2 \\ f(x+4n), & \mbox{für } x<-2 \end{cases}[/mm]
>
> Vielleicht verstehe ich was falsch aber in den obigen
> Funktionen gibt es doch garkein Integral... Oder muss man
> f(x) für die verschiendenen Fälle in die rot markierten
> Stellen einsetzen und daraus das Integral bilden?
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{\red{f(x)}\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{p}\cdot{}nx) dx}[/mm]
>
> [mm]b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{\red{f(x)}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{p}\cdot{}nx) dx}[/mm]
>
> Drittens Berechnung von
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{p}{f(x) dx}[/mm]
> Stimmt [mm]a_{0}[/mm] jetzt?
>
Ja.
> Viertens Berechnung von
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss ich für [mm]\red{f(x)}[/mm] noch was einsetzen?
Da Du von 0 bis 4 integrierst, ist für f(x) eine modizierte Funktion einzusetzen.
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Sorry die verbesserte Aufgabe habe ich übersehen.
Zur Berechnung von [mm] a_{1} [/mm] wahrscheinlich wird daraus:
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx}
[/mm]
[mm] a_{1}=\summe_{n=0}^{4}*{\red a_{1}}*cos(\bruch{2\pi}{4}*x)
[/mm]
und beim Rot unterlegten [mm] a_{1} [/mm] setze ich das [mm] a_{1} [/mm] mit dem Integral ein? |
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo J. Dean,
das erste Integral ist okay, was Du mit der Summe ausdrücken willst, ist mir allerdings unklar. Dir scheint nicht klar zu sein, dass Du mit solch einer Fourierreihendarstellung eine periodische Funktion mit der Periode L, - die hast du gegeben -, mit Hilfe von sich überlagernden Sinus- und Cosinusschwingungen darstellst. Du berechnest die Koeffizienten [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] solch einer Fourierreihe mithilfe von Integralen und die Funktion f(x) in Abhängigkeit von Sinus- und Cosinusschwingungen ergibt sich dann zu
[mm] f(x) = \bruch{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos (\bruch{2 \pi n x}{L}) + b_n \sin (\bruch{2 \pi n x}{L})) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | Hey Infinit,
jetzt bin ich etwas durcheinander... Also bis hier hin war alles ok:
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx}
[/mm]
Nun müsste ich ja was für f(x) einsetzen. In den Büchern finde ich nur das Beispiel für [mm] a_{n} [/mm] und das Hilft mir nicht weiter. |
Oder kann es sein das ich für f(x) ... [mm] cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}nx) [/mm] einsetze?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hi James Dean,
das f(x), das Du einsetzt, um die Koeffizienten zu berechnen, hast Du doch in Deinem ersten Beitrag selbst angegeben. es ist eine Funktion mit der Periodenlänge L=4 und sie lautet im Bereich zwischen -2 und 2
[mm] f(x) = 4 - x^2 [/mm]
Das setzt Du ein und Du kannst dann natürlich aufgrund der zwei Terme zwei Integrale getrennt ausrechnen.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | Vielen Dank für die Hilfe.
Berechnung von [mm] a_{1}:
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx}
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{4-x^2}dx*\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x)} [/mm] dx
So getrennt berechnen ist in ordnung oder? |
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}[16-\bruch{64}{3}]*0
[/mm]
[mm] a_{1}=0
[/mm]
Stimmt das?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
> Berechnung von [mm]a_{1}:[/mm]
>
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx}[/mm]
>
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{4-x^2}dx*\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x)}[/mm]
> dx
>
> So getrennt berechnen ist in ordnung oder?
Nein, das ist nicht in Ordnung.
Es ist so gemeint:
[mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)*cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)[/mm]
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}[16-\bruch{64}{3}]*0[/mm]
>
> [mm]a_{1}=0[/mm]
>
> Stimmt das?
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Sa 13.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Vielen Dank für deine Hilfe MathePower.
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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| Aufgabe | Ich hätte noch eine Frage...
Ich habe [mm] a_{1} [/mm] ausgerechnet also [mm] a_{1}=2 [/mm] wenn ich jetzt [mm] a_{2} [/mm] ausrechne würde die Formel folgendermaßen aussehen oder ?:
[mm] a_{2}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)+a_{1} [/mm] |
Also im endeffekt genauso nur das man am Ende + [mm] a_{1} [/mm] rechnet?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> Ich hätte noch eine Frage...
>
> Ich habe [mm]a_{1}[/mm] ausgerechnet also [mm]a_{1}=2[/mm] wenn ich jetzt
[mm]a_{1}[/mm] hat eine anderen Wert.
> [mm]a_{2}[/mm] ausrechne würde die Formel folgendermaßen aussehen
> oder ?:
>
> [mm]a_{2}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)+a_{1}[/mm]
>
> Also im endeffekt genauso nur das man am Ende + [mm]a_{1}[/mm]
> rechnet?
>
Nein.
Richtig ist:
[mm]a_{\blue{n}}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi*\blue{n}}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi*\blue{n}}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)[/mm]
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Hey MathePower,
also ist der Wert für [mm] a_{1}=4 [/mm] weil [mm] a_{0} [/mm] den Wert 2 hat? |
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> Hey MathePower,
>
> also ist der Wert für [mm]a_{1}=4[/mm] weil [mm]a_{0}[/mm] den Wert 2 hat?
>
Auch nicht.
Rechne das doch mal vor, wie Du auf [mm]a_{1}=4[/mm] kommst.
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | [mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}[sin(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 2\\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}x)*(x-4)-(-cos(\bruch{2\pi}{4}x)*1]\vmat{ 4\\ 2 }
[/mm]
[mm] a_{1}=0+0+cos(2\pi)-cos(\pi)
[/mm]
[mm] a_{1}=2 [/mm] |
Das wer meine Lösung ... [mm] a_{1}=4 [/mm] habe ich nur gesagt weil es ja evtl. möglich ist das man [mm] a_{0} [/mm] mit rein rechnet.
Mein Wert für [mm] a_{0} [/mm] ist übrigens = 2
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)[/mm]
>
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}[sin(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 2\\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}x)*(x-4)-(-cos(\bruch{2\pi}{4}x)*1]\vmat{ 4\\ 2 }[/mm]
>
> [mm]a_{1}=0+0+cos(2\pi)-cos(\pi)[/mm]
>
> [mm]a_{1}=2[/mm]
> Das wer meine Lösung ... [mm]a_{1}=4[/mm] habe ich nur gesagt weil
> es ja evtl. möglich ist das man [mm]a_{0}[/mm] mit rein rechnet.
>
>
> Mein Wert für [mm]a_{0}[/mm] ist übrigens = 2
>
[mm]f\left(x\right)[/mm] ist doch [mm]4-x^{2}[/mm].
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Sa 13.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Mist.... stimmt ja!!!
danke
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| Aufgabe | Hey MathePower?
ich frag lieber nochmal bevor ich weiter rechne... hat [mm] a_{1} [/mm] den Wert 0 ? |
Mit freundlcihen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> Hey MathePower?
>
> ich frag lieber nochmal bevor ich weiter rechne... hat
> [mm]a_{1}[/mm] den Wert 0 ?
Für [mm]n \ge 1[/mm] gilt: [mm]a_{n} \not= 0[/mm].
> Mit freundlcihen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | [mm] a_{1}=\bruch{1}{2}[sin(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 2\\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}x)\cdot{}(-6+x^2)+2x+cos(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 4\\ 2 }
[/mm]
[mm] a_{1}=0+0+[2*4*cos(\bruch{2\pi}{4}*4]-[2*2*cos(\bruch{2\pi}{4}*2]
[/mm]
[mm] a_{1}=12 [/mm] |
Hey MathePower,
letzte Störung wenn das nicht stimmt gebe ich es auf...
Dein Urteil?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}[sin(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 2\\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}x)\cdot{}(-6+x^2)+2x+cos(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 4\\ 2 }[/mm]
>
>
> [mm]a_{1}=0+0+[2*4*cos(\bruch{2\pi}{4}*4]-[2*2*cos(\bruch{2\pi}{4}*2][/mm]
>
> [mm]a_{1}=12[/mm]
> Hey MathePower,
>
> letzte Störung wenn das nicht stimmt gebe ich es auf...
>
Morgen ist ja auch noch ein Tag.
> Dein Urteil?
>
Leider Stimmt das auch nicht.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Könntest du mir bitte evtl nur die Rechnung von [mm] a_{1} [/mm] zeigen ? |
Mit freundlichen grüßen
J.dean
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Hallo JamesDean,
> Könntest du mir bitte evtl nur die Rechnung von [mm]a_{1}[/mm]
> zeigen ?
Der Ansatz zur Berechnung dieses Koeffizienten:
[mm]a_{1}=\bruch{1}{2}*\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)*\cos\left(\bruch{2*\pi}{4}*x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)*\cos\left(\bruch{2*\pi}{4}*x\right) \ dx}\right)[/mm]
Die Integrale löst Du mit Hilfe der partiellen Integration.
> Mit freundlichen grüßen
>
>
> J.dean
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Berechnung von [mm] a_{1}
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}([sin(\bruch{2\pi}{4}*x)*(6-x^2)+cos(\bruch{2\pi}{4}*x)*(-2x)]\vmat{ 2 \\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}*x)*(-10+8x-x^2)+cos(\bruch{2\pi}{4}*x)*(8-2x)]\vmat{4 \\ 2})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(0-0-4-0+0-0+0-4)
[/mm]
=2+2
[mm] a_{1}=4 [/mm] |
Schönen guten Tag alle zusammen,
stimmt der Wert für [mm] a_{1} [/mm] jetzt?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 So 14.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo James Dean,
dazu sage ich nur: Die Technik des Integrierens ist augenscheinlich spurlos an Dir vorrübergegangen, interessanterweise scheint Dir jedoch die Kettenregel etwas zu sagen, die Du mitunter munter in Dein Ergebnis einstreust.
Ich kann Dir nur den Tipp geben, erst einmal integrieren zu lernen.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | Hey,
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2\pi^{2}*x^{2}-8\pi^{2}-16)*sin(\bruch{\pi*x}{2})+8\pi*x*cos(\bruch{\pi*x}{2})}{\pi^3} [/mm] |
ist diese Integration besser?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> Hey,
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> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)[/mm]
>
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(2\pi^{2}*x^{2}-8\pi^{2}-16)*sin(\bruch{\pi*x}{2})+8\pi*x*cos(\bruch{\pi*x}{2})}{\pi^3}[/mm]
> ist diese Integration besser?
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Ja, das ist bis auf's Vorzeichen eine Stammfunktion des Integranden.
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Hey,
sorry hatte das Minus vergessen...
also mein Ergebnis für [mm] a_{1} [/mm] lautet [mm] a_{1}\approx1,62. [/mm] |
Stimmt der Wert für [mm] a_{1}?
[/mm]
für die Berechnung von [mm] b_{1} [/mm] kann ich da auch diese Integrale nutzen:
[mm] b_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)?
[/mm]
Zur Berechnung von [mm] a_{2} [/mm] müssten diese dann ja auch gelten oder? bis auf den Unterschied das es nicht [mm] 2\pi [/mm] sondern [mm] 4\pi [/mm] sind.
[mm] a_{2}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{4\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{4\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> Hey,
>
> sorry hatte das Minus vergessen...
> also mein Ergebnis für [mm]a_{1}[/mm] lautet [mm]a_{1}\approx1,62.[/mm]
> Stimmt der Wert für [mm]a_{1}?[/mm]
>
Nein, das ist erst die halbe Wahrheit.
> für die Berechnung von [mm]b_{1}[/mm] kann ich da auch diese
> Integrale nutzen:
>
> [mm]b_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)?[/mm]
>
Hier statt dem Cosinus ist der Sinus zu verwenden.
> Zur Berechnung von [mm]a_{2}[/mm] müssten diese dann ja auch gelten
> oder? bis auf den Unterschied das es nicht [mm]2\pi[/mm] sondern
> [mm]4\pi[/mm] sind.
>
> [mm]a_{2}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{4\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{4\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)[/mm]
>
Ja.
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | [mm] b_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)
[/mm]
ich meinte das natürlich so ... |
Die halbe Wahrheit....was heißt die halbe Wahrheit?
[mm] a_{1}+a_{0} [/mm] vielleicht? oder muss man noch irgendwelche Grenzen oder ähnliches beachten?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> [mm]b_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)[/mm]
>
> ich meinte das natürlich so ...
> Die halbe Wahrheit....was heißt die halbe Wahrheit?
>
> [mm]a_{1}+a_{0}[/mm] vielleicht? oder muss man noch irgendwelche
> Grenzen oder ähnliches beachten?
>
Du hast erst über das Intervall [mm]\left[0,2\right][/mm] integriert.
Es ist auch noch über das Intervall [mm]\left[2,4\right][/mm] zu integrieren.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | ??? also ich habe:
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx} [/mm] im Intervall $ [mm] \left[0,2\right] [/mm] $ integriert.
Ergebnis=1,62
dann habe ich:
[mm] \integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\) [/mm] im Intervall $ [mm] \left[2,4\right] [/mm] $ integriert.
Ergebnis=1,62
anschließend habe ich folgendes gerechnet:
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}(1,62+1,62)
[/mm]
Resultat [mm] a_{1}=1,62 [/mm] |
und das habe ich sogar mehrmals getan um Rechenfehler auszuschließen.
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> ??? also ich habe:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}[/mm]
> im Intervall [mm]\left[0,2\right][/mm] integriert.
>
> Ergebnis=1,62
>
> dann habe ich:
>
> [mm]\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\)[/mm]
> im Intervall [mm]\left[2,4\right][/mm] integriert.
>
> Ergebnis=1,62
>
> anschließend habe ich folgendes gerechnet:
>
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}(1,62+1,62)[/mm]
>
> Resultat [mm]a_{1}=1,62[/mm]
Vom Zahlenwert her ist das korrekt.
Besser Du bringst das in diese Form:
[mm]a_{1}=\bruch{16}{\pi^{2}}[/mm]
> und das habe ich sogar mehrmals getan um Rechenfehler
> auszuschließen.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 So 14.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Achso.... Habe das Ergebnis mittels Taschenrechner berechnet.
Naja vielen Dank für deine Geduld.
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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