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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Di 27.01.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Es sei p eine positive reelle Zahl, $f: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] eine Funktion, für die gilt: $f(x+p) = f(x) [mm] \; \forall [/mm] x [mm] \in \IR$. [/mm] f sei auf [0,p] integrierbar. Zeige:
a) f ist auf allen Intervallen [a, a+p] integrierbar und
[mm] \hspace{2cm}$\int^{a+p}_a [/mm] f(t)dt = [mm] \int^p_0 [/mm] f(t)dt$
b) Gilt überdies $f(x) = f(-x) [mm] \;\forall [/mm] x [mm] \in \IR$, [/mm] so folgt
[mm] \hspace{2cm} $\int^{\frac{p}{2}}_0 [/mm] f(x)dx = [mm] \frac{1}{2}\int^p_0 [/mm] f(x)dx$
[mm] c) $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 sin^2 [/mm] t dt [mm] =\int^{\frac{\pi}{2}}_0 cos^2 [/mm] t dt = [mm] \frac{\pi}{2}$
[/mm]
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Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe habe ich mich zuerst an Teil c) gesetzt, da es hier was zu rechnen gibt.
Die Stammfunktion von [mm] $cos^2(x)$habe [/mm] ich mit Hilfe der partiellen Integration und der Gleichung [mm] $cos^2(x)+sin^2(x) [/mm] =1$ bestimmt und so das Integral berechnet. (F(x) = 0,5 (cosx sinx +x)
Ich denke aber, es wird erwartet, dass ich hier noch die Periodizität und die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus ins Spiel bringe. Aber dazu muss ich doch auch die Stammfunktion einer der beiden Funktionen berechnen, oder?
Wie erhalte ich dann aus diesem Ergebnis, der Periode [mm] $\pi$ [/mm] und der Verschiebung um [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] die Berechnung für die zweite Funktion?
Viele Grüße,
Palonina
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Hallo Palonina,
> c) [mm] \int^{\frac{\pi}{2}}_0 sin^2 [/mm] t dt [mm] =\int^{\frac{\pi}{2}}_0 cos^2 [/mm] t dt = [mm] \frac{\pi}{\red{4}}
[/mm]
So stimmts.
Du kommst ohne die Berechnung der Stammfunktion aus.
Ich sehe zwei Wege:
1) Über die Beziehung [mm] \cos{t}=\sin{\left(\bruch{\pi}{2}-t\right)}
[/mm]
Dann sozusagen Koordinatentransformation; Achtung bei den Integrationsgrenzen!
2) Ganz als Skizze:
[mm] \int{\sin^2}=\int{\cos^2} \quad\Rightarrow \int{(\sin^2-\cos^2)}=\int{(2\sin^2-1)}=0 \quad\Rightarrow 2\int{\sin^2}=\int{1}
[/mm]
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 27.01.2009 | | Autor: | Palonina |
Hallo reverend,
oh ja, das war ein Tippfehler von mir, es heißt [mm] $\frac{\pi}{4}$.
[/mm]
Koordinatentransformation sagt mir leider nichts.
zu b) Diese Aufgabe habe ich jetzt gelöst:
Nach a) gilt mit $a= [mm] -\frac{p}{2}: \int^p_0 [/mm] f(x)dx = [mm] \int^{\frac{p}{2}}_{-\frac{p}{2}} [/mm] f(x)dx= 2 [mm] \int^{\frac{p}{2}}_0 [/mm] f(x)dx$. Letzteres gilt, da die Funktion achsensymmetrisch ist.
Aber Teil a), dazu habe ich leider noch keine Idee.
Gruß,
Palonina
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Hallo Palonina,
dann nimm für c doch einfach den anderen Weg.
(Zu den Koordinaten: mach aus [mm] \bruch{\pi}{2}-x [/mm] ein u, verändere aber die Integrationsgrenzen entsprechend, auch das Vorzeichen. Bringe dann die beiden Integrale auf die gleiche Form, benenne im ersten x als u, führe sie zusammen. Du solltest das vorgegebene Ergebnis bekommen, genau wie auf dem anderen Weg.)
Aufgabe a ist einfach; wahrscheinlich hast Du nur gerade eine Blockade. Beachte, dass [0,p] ein abgeschlossenes Intervall ist, und dass Du in der Aufgabenstellung enthalten hast: wenn x, dann auch x+p. Warum dann zugleich: wenn x, dann auch x-p? Das Intervall lässt sich ausweiten...
Interessant ist noch, dass das Integral über eine Periodenlänge immer gleich ist, egal wo der Periodenbeginn gesetzt wird. Anschaulich ganz klar, aber wie ist es zu begründen?
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 27.01.2009 | | Autor: | Palonina |
Das stimmt, anschaulich ist es klar: Das Integral wird an einer Stelle zerschnitten und hinten angehängt, es ist nur anders zusammengesetzt.
> Aufgabe a ist einfach; wahrscheinlich hast Du nur gerade
> eine Blockade. Beachte, dass [0,p] ein abgeschlossenes
> Intervall ist, und dass Du in der Aufgabenstellung
> enthalten hast: wenn x, dann auch x+p. Warum dann zugleich:
> wenn x, dann auch x-p? Das Intervall lässt sich
> ausweiten...
Ok, Periode bedeutet ja, dass sich die Funktionswerte ab p wiederholen, $f(x) = f (x +kp), k [mm] \in \IZ$, [/mm] die Periode setzt sich in beide Richtungen fort.
Wie ich das aber in den Beweis einbringe, das sehe ich grad nicht.
Gruß,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Substituiere u = t-a
FRED
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