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| Aufgabe | Gegeben sei die Gleichung
[mm] \dot{x}=A(t)x+b(t)
[/mm]
wobei [mm] x\in \IR, A(t)\in M_n(\IR), b(t)\in \IR^n [/mm] für alle [mm] t\in\IR [/mm] und A(t), b(t) stetig. Sei außerdem [mm] \Phi(t) [/mm] Fundamentalmatrix des Systems sodass [mm] \Phi(0)=I_n.
[/mm]
Angenommen, es existiert ein T > 0 sodass [mm] \Phi(T) [/mm] NICHT 1 als Eigenwert besitzt. Zeige, dass dann jede Lösung T-periodisch ist. |
Irgendwie kann ich das, was zu zeigen ist, nur widerlegen. Nimmt man nämlich an, dass 1 kein Eigenwert ist, dann kann [mm] \Phi(T) [/mm] schonmal nicht die Einheitsmatrix sein. Das müsste sie aber doch, da die Lösungen ja T-periodisch sein sollen und in dem Fall ja [mm] \Phi(0)=\Phi(0+T)=\Phi(T) [/mm] gelten müsste.
Kann es sein, dass in der Aufgabe ein Fehler ist und man eventuell von der Annahme ausgehen muss, dass 1 gerade wohl EW von [mm] \Phi(T) [/mm] sein soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 18.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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