Periodische autonome DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:18 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich habe [mm] $f:\IR\rightarrow\IR$ [/mm] Nullstellenfrei und mit Periode $T>0$, also $f(t+T)=f(t)$.
Nun soll ich zeigen, dass es eine Lösung der DGL $x'=f(x)$ gibt, so dass [mm] $x(t+b)-x(t)\in\IZ [/mm] T$ ist für geeignetes $b$.
Bisher habe ich nicht viel erreicht - nur die Erkenntnis, dass [mm] $x(t+T)-x(t)\equiv [/mm] c$ für irgendeine Konstante $c$.
Hat jemand einen Tipp?
Gruß, Harris
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Fr 30.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe [mm]f:\IR\rightarrow\IR[/mm] Nullstellenfrei und mit
> Periode [mm]T>0[/mm], also [mm]f(t+T)=f(t)[/mm].
>
> Nun soll ich zeigen, dass es eine Lösung der DGL [mm]x'=f(x)[/mm]
> gibt, so dass [mm]x(t+b)-x(t)\in\IZ T[/mm] ist für geeignetes [mm]b[/mm].
>
> Bisher habe ich nicht viel erreicht - nur die Erkenntnis,
> dass [mm]x(t+T)-x(t)\equiv c[/mm] für irgendeine Konstante [mm]c[/mm].
Woraus zum Beispiel auch folgt, dass $x(t+kT)-x(t) = kc$, [mm] $k\in \IZ$.
[/mm]
> Hat jemand einen Tipp?
Ich nehme mal an, dass f stetig sein soll. Dann ist $x(t)$ streng monoton.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ja, f sogar unendlich oft differenzierbar.
Davor wurde gezeigt, $f$ ist surjektiv und $f$ existiert auf ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
Bisher ist ja nur $x(t+kT)-x(t)= kc$, wie kann man nun [mm] $c\in\IZ [/mm] T$ zeigen?
Wie fließt hier die Stetigkeit und strenge Monotonie ein? Ich komm irgendwie nicht drauf :(
Gruß, Harris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Sa 31.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi!
>
> Ja, f sogar unendlich oft differenzierbar.
> Davor wurde gezeigt, [mm]f[/mm] ist surjektiv und [mm]f[/mm] existiert auf
> ganz [mm]\IR[/mm].
>
> Bisher ist ja nur [mm]x(t+kT)-x(t)= kc[/mm], wie kann man nun
> [mm]c\in\IZ T[/mm] zeigen?
Das sehe ich nicht, wie das gehen soll. Du sollst zeigen, dass es ein [mm] $b\in\IR$ [/mm] gibt, sodass
[mm]x(t+b)-x(t)\in\IZ T[/mm] .
b muss kein Vielfaches von T sein.
> Wie fließt hier die Stetigkeit und strenge Monotonie ein?
Die Stetigkeit von f impliziert die strenge Monotonie von x (warum?). Also ist [mm] $c\not=0$. [/mm]
Tipp: Zwischenwertsatz.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
