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Hallo,
ich versuche gerade zu verstehen, wie Permutationen funktionieren. Ich habe dazu ein Beispiel. Vielleicht kann das mal jemand erklären?
Warum gilt das:
[mm] p=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 5 & 1 & 7 & 4 & 2 & 9 & 8 & 6 &3 } [/mm] =(9 6 8 7 3)(2 5 1)??
Gibt es auch andere Möglichkeiten?
Danke für jede Hilfe!
VG mathmetzsch
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> Warum gilt das:
> [mm]p=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 5 & 1 & 7 & 4 & 2 & 9 & 8 & 6 &3 }[/mm]
> =(9 6 8 7 3)(2 5 1)??
Hallo,
ich halte das für falsch und meine, es müßte heißen =(9 6 8 7 3)(2 5 1)(4).
>
[mm] p=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 5 & 1 & 7 & 4 & 2 & 9 & 8 & 6 &3 }
[/mm]
bedeutet
1 [mm] \mapsto [/mm] 5
2 [mm] \mapsto [/mm] 1
3 [mm] \mapsto [/mm] 7
usw.
Diese Permutation könnte man auch anders schreiben:
1 [mm] \mapsto [/mm] 5
5 [mm] \mapsto [/mm] 2
2 [mm] \mapsto [/mm] 1
3 [mm] \mapsto [/mm] 7
7 [mm] \mapsto [/mm] 8
8 [mm] \mapsto [/mm] 6
6 [mm] \mapsto [/mm] 9
9 [mm] \mapsto [/mm] 3
4 [mm] \mapsto [/mm] 4
[mm] =\pmat{ 3 & 7 & 8 & 6 & 9 \\ 7 & 8 & 6 & 9 & 3 }\pmat{ 1 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 1 }\pmat{ 4 \\ 4 }
[/mm]
Dieses heißt "Darstellung der Permutation als Produkt von Zykeln", und
=(9 6 8 7 3)(2 5 1)(4) ist eine abkürzende Schreibweise für das Produkt oben.
(2 5 1) ist so zu lesen: 1 auf 5
5 auf 2
2 auf 1.
Ich hoffe, Du hast's verstanden.
> Gibt es auch andere Möglichkeiten?
Nein. Bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist die Darstellung als Produkt von elementfremden Zykeln eindeutig.
Achso: es ist (natürlich?) (2 5 1) dasselbe Zykel wie (1 2 5) und wie (5 1 2)
Gruß v. Angela
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Hallo noch mal,
also ich habe das aus einem Buch abgeschrieben und da steht ", dass Elemente die bei einer Permutation festgelassen werden, in dieser Notation gar nicht auftauchen" (Wolfart, Einf. in die Zahlentheorie und Algebra).
Folglich kann man die 4 also weglassen.
Kann das jemand bestätigen?
Ansonsten ist mir der Rest nun so klar wie nie.
Vielen Dank!
VG mathmetzsch
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> Hallo noch mal,
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> also ich habe das aus einem Buch abgeschrieben und da steht
> ", dass Elemente die bei einer Permutation festgelassen
> werden, in dieser Notation gar nicht auftauchen" (Wolfart,
> Einf. in die Zahlentheorie und Algebra).
>
> Folglich kann man die 4 also weglassen.
> Kann das jemand bestätigen?
Hallo,
stimmt! Mein Buch, Meyberg: Algebra1, macht es auch so.
Wär ja sonst auch Quatsch. (4), (5) usw. sind ja die Identität.
Gruß v. Angela
> Ansonsten ist mir der Rest nun so klar wie nie.
>
> Vielen Dank!
> VG mathmetzsch
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