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| Aufgabe | [mm] \sigma=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 }, \sigma\in S_5
[/mm]
a) berechne [mm] \sigma^2, \sigma^3, \sigma^{1}
[/mm]
b) Bestimme ein k>0 so, dass [mm] \sigma^k=id [/mm] |
Ich habe mir heute mal mein Skript zu diesem Thema angeschaut und festgestellt, ich weiß was eine Permutationsmatrix ist. Aber ich weiß nicht wie ich die Permutationen aus a) berechnen kann.
Könnt ihr mir das nochmal erklären oder an irgend einem Beispiel vorzeigen?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]\sigma=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 4 & 1 & 2 & 3 }, \sigma\in S_5[/mm]
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> a) berechne [mm]\sigma^2, \sigma^3, \sigma^{1}[/mm]
> b) Bestimme ein
> k>0 so, dass [mm]\sigma^k=id[/mm]
> Ich habe mir heute mal mein Skript zu diesem Thema
> angeschaut und festgestellt, ich weiß was eine
> Permutationsmatrix ist. Aber ich weiß nicht wie ich die
> Permutationen aus a) berechnen kann.
>
> Könnt ihr mir das nochmal erklären oder an irgend einem
> Beispiel vorzeigen?
Bei der obigen Permutation [mm] $\sigma$ [/mm] bedeutet die Schreibweise folgendes:
[mm]1\mapsto 5[/mm]
[mm]2\mapsto 4[/mm]
[mm]3\mapsto 1[/mm]
[mm]4\mapsto 2[/mm]
[mm]5\mapsto 3[/mm]
Nun berechnen wir [mm]\sigma^2[/mm], verketten also die obige Permutation mit sich selbst:
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 4 & 1 & 2 & 3 }\circ\red{\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 4 & 1 & 2 & 3 }}[/mm]
Das wird wie üblich von rechts nach links ausgeführt ([mm]f\circ g[/mm]: "f nach g")
Also
[mm]\red{1\mapsto 5}[/mm]
[mm]\red{2\mapsto 4}[/mm]
[mm]\red{3\mapsto 1}[/mm]
[mm]\red{4\mapsto 2}[/mm]
[mm]\red{5\mapsto 3}[/mm]
nun darauf die vordere Permutation anwenden:
[mm]\red{5}\mapsto 3[/mm]
[mm]\red{4}\mapsto 2[/mm]
[mm]\red{1}\mapsto 5[/mm]
[mm]\red{2}\mapsto 4[/mm]
[mm]\red{3}\mapsto 1[/mm]
Insgesamt also
[mm]1\mapsto 5\mapsto 3[/mm], also [mm]1\mapsto 3[/mm]
[mm]2\mapsto 4\mapsto 2[/mm], also [mm]2\mapsto 2[/mm]
[mm]3\mapsto 1\mapsto 5[/mm], also [mm]3\mapsto 5[/mm]
[mm]4\mapsto 2\mapsto 4[/mm], also [mm]4\mapsto 4[/mm]
[mm]5\mapsto 3\mapsto 1[/mm], also [mm]5\mapsto 1[/mm]
Damit: [mm]\sigma^2=\sigma\circ\sigma=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 4 & 1 & 2 & 3 }\circ\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 4 & 1 & 2 & 3 }=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 2 & 5 & 4 & 1 }[/mm]
> MfG
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für das ausführliche Vorrechnen!! Das halt mir gut geholfen es zu verstehen!
[mm] \sigma^3 [/mm] muss dann sein:
[mm] 1\mapsto 5\mapsto 3\mapsto [/mm] 1 also [mm] 1\mapsto1
[/mm]
[mm] 2\mapsto 4\mapsto 2\mapsto [/mm] 4 also [mm] 2\mapsto4
[/mm]
[mm] 3\mapsto 1\mapsto 5\mapsto [/mm] 3 also [mm] 3\mapsto3
[/mm]
[mm] 4\mapsto 2\mapsto 4\mapsto [/mm] 2 also [mm] 4\mapsto2
[/mm]
[mm] 5\mapsto 3\mapsto 1\mapsto [/mm] 5 also [mm] 5\mapsto5
[/mm]
[mm] \sigma^3=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5}
[/mm]
Stimmt das?
Dann bin ich mir nun nicht ganz sicher wie ich [mm] \sigma^{-1} [/mm] berechnen kann. Kann ich da die Zeilen vertauschen oder bilder ich von "unten nach oben" ab?
Die Rechenregeln sind mir da leider noch nicht so bekannt, die kommen wohl erst noch in der Vorlesung dran!
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mo 16.01.2012 | | Autor: | davux |
Zum Beispiel:
[mm] $\sigma=\pmat{1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\sigma^{-1}=\pmat{2&4&5&1&3\\1&2&3&4&5}=\pmat{1&2&3&4&5\\4&1&5&2&3}$
[/mm]
Das hatten wir auch in der Vorlesung besprochen. Kann mich noch erinnern, weil der User roydebatzen die Frage des Dozenten beantwortet hat, wie es diese denn aussehe. ;)
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Danke :) Habs verstanden!
Nun noch eine kurze Frage zur b)
k muss 4 sein, damit [mm] \sigma^k=id
[/mm]
das ist ja offensichtlich wenn man [mm] \sigma^3 [/mm] schon bestimmt hat. Kann ich das für k=4 einfach so zeigen oder muss ich das irgendwie ermitteln?
MfG
mathegirl
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Warum muss k=4 sein? Es sind doch auch Vielfache ok, oder nicht? Am besten machst es mit Induktion.
Wenn du keine Lust drauf hast gehts aber bestimmt auch wenn du einfach sagst dass es Vielfache sind von etwas das du schon gezeigt hast, dass die Identität ist.. Musst du entscheiden
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mo 16.01.2012 | | Autor: | davux |
Es ist eine Schreibweise, so stand es auch an der Tafel, auch wenn ich mal behaupte der Dozent hat es selbst auch eins, zwei Mal als Matrix bezeichnet. Das macht man aber nicht, hat er mir gegenüber auch nach der Vorlesung nochmal betont.
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