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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Mo 08.12.2008 | | Autor: | matmat |
| Aufgabe | Für welche [mm] x\in \IR [/mm] haben die Matrizen [mm] \pmat{ -1-x & 1 & 0 \\ 1 & 4-x & 1 \\ 0 & 1 & -1-x }
[/mm]
und [mm] \pmat{ 2-x & 0 & 3 \\ 0 & -2-x & 0 \\ 3 & 0 & 1-x } [/mm] den Maximalrang 3, für welche nicht?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wir haben für diese Aufgaben den Tipp bekommen, dass sich das Gaußverfahren hierbei nicht eignet.
Leider weiß ich kein anderes Verfahren zur Rangbestimmung.
Momentan behandeln wir in der Vorlesung Gruppen und Permutationen, vielleicht gibt es hier ein Hilfsmittel, was ich ganz einfach übersehen habe.
Bei Permutationen wird ja auch sehr oft die Matrixschreibweise benutzt, aber halt mit zwei zeilen und n Spalten.
vielleicht kann ich die Matrizen in Zyklenschreibweisen umwandeln,was aber mit drei zeilen bestimmt nicht richtig ist.
Was ich aber bemerkte ist, dass die erste und und dritte Spalte sich sehr ähneln ( bei [mm] \pmat{ -1-x & 1 & 0 \\ 1 & 4-x & 1 \\ 0 & 1 & -1-x }
[/mm]
) . Wenn ich hier versuche in Zykeln zu schreiben wäre es (meine Vermutung) -1-x [mm] \to [/mm] 1 [mm] \to [/mm] 0 [mm] \to [/mm] 1 [mm] \to [/mm] -1-x also (-1-x,1,0)
Über Tipps oder Ideen würde ich mich sehr freuen
Viele Grüße
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Du sollst ja nicht den genauen Rang der Matrix bestimmen, sondern nur herausfinden, für welche x er maximal ist und für welche nicht.
Es genügt daher eine Untersuchung, wann [mm] \det{A(x)}\not=0.
[/mm]
Ein bisschen unschön daran ist, dass Du die entstehende kubische Gleichung nur über die cardanischen Formeln lösen kannst. Es ergibt sich nur eine einfache Nullstelle, ganz in der Nähe von [mm] \bruch{17}{4}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo rev,
> Du sollst ja nicht den genauen Rang der Matrix bestimmen,
> sondern nur herausfinden, für welche x er maximal ist und
> für welche nicht.
>
> Es genügt daher eine Untersuchung, wann [mm]\det{A(x)}\not=0.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ein bisschen unschön daran ist, dass Du die entstehende
> kubische Gleichung nur über die cardanischen Formeln lösen
> kannst. Es ergibt sich nur eine einfache Nullstelle, ganz
> in der Nähe von [mm]\bruch{17}{4}.[/mm]
Bei beiden Determinanten konnte ich einen Linearfaktor ausklammern, so dass letztlich nur eine quadratische Gleichung zu lösen war. Es kann aber auch sein, dass ich mich verrechnet habe...
Beide Determinanten habe ich nach der ersten Zeile entwickelt, bei der ersten konnte ich (-1-x) ausklammern, bei der zweiten (-2-x).
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:13 Mo 08.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ähmmm...
Die zweite Matrix habe ich gar nicht bearbeitet, weil ich an der ersten sehen wollte, ob die Aufgabe sozusagen ermutigend gestellt ist. Das schien mir nicht so zu sein.
Das Ergebnis habe ich gerade noch einmal überprüft und finde keine nötige Änderung, vor allem keinen Linearfaktor... Aber es ist zu spät, um auch nur annähernd verlässlich eigene Rechnungen Korrektur zu lesen. 
Ich geh dann auch ganz bald mal schlafen, muss vor 8h im Büro auflaufen. Hmpf.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Für welche [mm]x\in \IR[/mm] haben die Matrizen [mm]\pmat{ -1-x & 1 & 0 \\ 1 & 4-x & 1 \\ 0 & 1 & -1-x }[/mm]
>
> und [mm]\pmat{ 2-x & 0 & 3 \\ 0 & -2-x & 0 \\ 3 & 0 & 1-x }[/mm] den
> Maximalrang 3, für welche nicht?
Hier zur Überprüfung meine erste Determinante (Entwicklung nach der ersten Zeile):
[mm] $(-1-x)*\left[(4-x)*(-1-x)-1*1\right]-1*\left[1*(-1-x)-0*1\right]$
[/mm]
[mm] $=(-1-x)*\left\{\left[(4-x)*(-1-x)-1\right]-1*\left[1\right]\right\}$
[/mm]
[mm] $=(-1-x)*\left\{(4-x)*(-1-x)-2\right\}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mo 08.12.2008 | | Autor: | reverend |
> [mm]=(-1-x)*\left\{(4-x)*(-1-x)-2\right\}[/mm]
>
> Viele Grüße,
> Marc
Das wäre ja weiter: [mm] =-(x+1)(x^2-4x+x-4-2)=-(x+1)(x^2-3x-6)
[/mm]
[mm] =-x^3+2x^2+9x+6
[/mm]
Zum Vergleich nach Sarrus:
[mm] det\pmat{ -1-x & 1 & 0 \\ 1 & 4-x & 1 \\ 0 & 1 & -1-x }=
[/mm]
=(-1-x)*(4-x)*(-1-x)+1*1*0+0*1*1-(-1-x)*1*1-1*1*(-1-x)-0*(4-x)*0=
[mm] =(x+1)^2(4-x)+2(x+1)=...=-x^3+2x^2+9x+6
[/mm]
Wie schön, identisch.
Leider liegt meine handschriftliche nächtliche Rechnung zuhause, so dass ich den offenbar vorhandenen Fehler gerade nicht orten kann. War wohl doch schon zu spät gestern.
Pardon.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mo 08.12.2008 | | Autor: | matmat |
Hallo,
erstmal vielen Dank für eure große Mühe.
Wenn ich es richtig verstehe, dann habt Ihr die Elemente der Hauptdiagonale multipilizert, und halt nach Möglichkeit zusammengefasst.
Also muss man hier ganz einfach nur die Determinante berechnen?
Und wenn ich dann für das Entstehende die Nullstellen ermittel, dann sind diese x auch die gesuchten x , für die der maximale Rang 3 ist
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mo 08.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo matmat,
nicht nur die Elemente der Hauptdiagonalen, sondern die ganze Determinante! Schau mal die letzten Rechnungen durch. Marc entwickelt die Determinante nach einer Zeile, ich nach der Regel von Sarrus. Das Ergebnis [b]muss[/m] gleich sein, weil es nur um Methoden geht.
Liebe Grüße,
rev
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