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| Aufgabe | | Wieviele Untergruppen hat die Gruppe [mm] (S_{3}, \circ)? [/mm] |
Hallo Leute,
Wenn [mm] (S_{3}, \circ) [/mm] eine Gruppe ist, so muesste
die Anzahl aller Permutationen aus [mm] S_{3} [/mm] nicht gleich der Anzahl aller Elemente aus [mm] S_{3} [/mm] sein. Ist das korrekt?
Ist das neutrale Element = id = (1)(2)(3) nicht auch eine Permutation?
Gruss
mathlooser
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Irgendwie kann ich dir nicht folgen, aber vielleicht hilft dir das:
In [mm] $S_3$ [/mm] sind $6=3!$ Elemente. Die Identität $(1)(2)(3)$ ist natürlich auch eine Permutation, d.h. sie ist bijektiv, wie du einfach sehen kannst.
(12)(3) wäre eine andere Permutation etc.
Da du insgesamt 6 Stück hast, wie viele Elemente können dann Untergruppen haben?
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Hallo Teufel,
danke fuer deine Antwort.
Also ich habe 3! Elemente in [mm] S_{3}, [/mm] ich zaehle diese mal auf:
(123) = (312) = (231)
(132) = (213) = (321)
und hier war auch schon mein Fehler. Ich habe beim Aufzaehlen den Umstand dass es nur 2 verschiedene 3-Zykel in [mm] S_{3} [/mm] gibt nicht gesehen. Stattdessen habe ich die 3-Zykel oben alle als (verschiedene) Perm. aus [mm] S_{3} [/mm] gezaehlt, was ja quatsch ist.
Es gibt nun also folgende Perm. in [mm] S_{3}:
[/mm]
(123)
(132)
(1)(23)
(2)(13)
(3)(12)
(1)(2)(3)
Somit ist also auch die id ein El. aus [mm] S_{3} [/mm] und die erste Bedingung fuer die Existenz einer Untergruppe erfuellt (Existenz des Neutr. El.)
Es ergeben sich folgende Untergruppen:
[mm] U_{1} [/mm] = ({(1)(2)(3)}, [mm] \circ)
[/mm]
[mm] U_{2} [/mm] = ({(1)(23), (1)(2)(3)}, [mm] \circ)
[/mm]
[mm] U_{3} [/mm] = ({(2)(13), (1)(2)(3)}, [mm] \circ)
[/mm]
[mm] U_{4} [/mm] = ({(3)(12), (1)(2)(3)}, [mm] \circ)
[/mm]
[mm] U_{5} [/mm] = ({(123), (132) (1)(2)(3)}, [mm] \circ)
[/mm]
[mm] U_{6} [/mm] = ({(123), (132), (1)(23), (2)(13), (3)(12), (1)(2)(3)}, [mm] \circ)
[/mm]
Also insgesamt 6 Untergruppen. Ist das so korrekt?
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 20.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Jo, das stimmt so! :)
Kannst du auch begründen, warum das alle sein müssen?
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Hmm,
Es muessen alle sein = es gibt keine andere von den genannten verschiedene Untergruppe?
Weil keine andere Konstellation von Elementen aus [mm] S_{3} [/mm] eine Gruppe bildet? :)
Genauer: Weil die Voraussetzungen fuer eine Untergruppe fuer keine andere Konstellation von Elementen aus [mm] S_{3} [/mm] erfuellt ist?
Bsp:
({(123), (1)(2)(3)}, [mm] \circ) [/mm] ist KEINE Untergruppe, weil das Inverse Element fuer (123) fehlt.
> Kannst du auch begründen, warum das alle sein müssen?
Hab ich die Frage richtig verstanden?
Ach ja, aber woher weiss ich, dass es sich um 6 Untergruppen handeln muss?
Ich habe in [mm] S_{3}
[/mm]
- 1 * Untergruppe mit 2 El.
- 1 * Untergruppe mit allen (also 6) El.
- 4 * Untergruppen mit 1 El.
Wieviele Untergruppen haette z.B [mm] S_{4}?
[/mm]
Ich weiss, dass [mm] S_{4} [/mm] 4! = 24 El. hat.
Woher weiss ich ob eine zweielementige Menge (inkl dem Neutr El.) ein weiteres Inv. El. benoetigt um zu einer Untergruppe zu werden?
Villeicht anhand der Struktur der Zykel? Fuer alle Perm aus [mm] S_{4} [/mm] die sich nur als 2 bzw 1-Zykel schreiben lassen, gilt: Es wird kein weiteres (inv.) El. benoetigt, da diese das Inverse zu sich selbst bilden.
Ist das der richtige Ansatz?
Ich nehme an das war auch deine Frage...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi nochmal!
Ja ok, du kannst natürlich alle durchprobieren und zeigen, dass das dann keine Untergruppe ist. ;) aber das kostet natürlich viel Zeit...
Ich weiß jedoch nicht wie fit du in Gruppentheorie bist, aber für S_3 kann man das recht einfach so begründen: |S_3|=6, d.h. Untergruppen können nur die Größe 1,2,3 und 6 haben. Ok, Untergruppen der Größe 1 und 6 sind eh klar. Bleiben nur die Untergruppen mit Größe 2 und 3. Diese können aber nur zyklisch sein, weil 2 und 3 Primzahlen sind! Also hast du als Untergruppen nur noch Dinger der Form \left< \sigma \right> für alle $\sigma\in S_3 \setminus\{\text{id}}\}$. Das sind dann genau alle deine Untergruppen.
Bei S_4 wird es etwas schwieriger, Untergruppengrößen müssen dann auch wieder die 24 teilen, außer den trivialen Untergruppen kommen also Dinger der Größe 2,3,4,6,8,12 in Frage. Da gibt es dann einiges mehr zu tun, mach das lieber nicht. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Sa 22.03.2014 | | Autor: | mathlooser |
Hallo Teufel,
danke fuer deine Antwort.
> Ich weiß jedoch nicht wie fit du in Gruppentheorie bist
Gar nicht fit.
> Untergruppen können nur die Größe 1,2,3 und 6 haben.
Warum? Faengt hier die Gruppentheorie an? Falls ja, brauchst du nicht drauf einzugehen.
> Da gibt es dann einiges mehr zu tun, mach das lieber nicht. ;)
Ich befolge deinen Rat gerne :).
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, ein wenig elementare Gruppentheorie. Die Ordnung einer Untergruppe teilt immer die Ordnung der größeren Gruppe.
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