Permutationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 So 26.03.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei n>1 und [mm] \sigma:= \pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n-1 & n\\ n & n-1 & n-2 & ... & 2 & 1 }
[/mm]
Bestimmen sie Zykelzerlegung und Signum von [mm] \sigma [/mm] |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, dies war auch eine alter klausuraufgabe.
Habe die nochmal gerechnet und folgendes raus.
In Zykelzerlegung:
(1 n) [mm] \circ [/mm] (2 n-1) [mm] \circ [/mm] (3 n-2) [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] (n-1 2) [mm] \circ [/mm] (n 1)
hoffe das ist so richtig
und für [mm] sgn(\sigma)=(-1)^n
[/mm]
denn man hat insgesammt n Transpositionen und [mm] sgn(\sigma)=-1^{anz. der Transpositionen}
[/mm]
hoffe das ist so richitg. Noch als kleine Nebenfrage: Die Anzahl der Fehlstände ist nicht die Anzahl der Permutation als Transposition zerlegt oder?
Also wenn man eine Permutation hat, die man als n Transpostionen umformen kann, ist n [mm] \not= [/mm] Anzahl der Fehlstände oder?
Bin dankbar für jede Hilfe =)
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei n>1 und [mm]\sigma:= \pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n-1 & n\\ n & n-1 & n-2 & ... & 2 & 1 }[/mm]
>
> Bestimmen sie Zykelzerlegung und Signum von [mm]\sigma[/mm]
> (Frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey Leute, dies war auch eine alter klausuraufgabe.
>
> Habe die nochmal gerechnet und folgendes raus.
> In Zykelzerlegung:
>
> (1 n) [mm]\circ[/mm] (2 n-1) [mm]\circ[/mm] (3 n-2) [mm]\circ[/mm] ... [mm]\circ[/mm] (n-1
> 2) [mm]\circ[/mm] (n 1)
>
> hoffe das ist so richtig
Das stimmt so nicht: setz doch mal $n$ ein. Dann wird $n$ durch die letzte Transposition durch $1$ ersetzt, die $1$ passiert die Transpositionen in der Mitte und wird von der ersten wieder in $n$ getauscht. Also bildet diese Verkettung $n$ auf $n$ ab (und ebenso $1$ auf $1$, $2$ auf $2$, etc.).
> und für [mm]sgn(\sigma)=(-1)^n[/mm]
>
> denn man hat insgesammt n Transpositionen und
> [mm]sgn(\sigma)=-1^{anz. der Transpositionen}[/mm]
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> hoffe das ist so richitg. Noch als kleine Nebenfrage: Die
> Anzahl der Fehlstände ist nicht die Anzahl der Permutation
> als Transposition zerlegt oder?
Im Allgmeinen nicht. Die Darstellung durch Transpositionen ist nicht eindeutig, du kannst die gleiche Permutation durch verschiedene Verkettungen von Transpositionen darstellen, und auch die Laenge der Darstellungen kann verschieden sein. Das einzige, was bei allen solchen Darstellungen das gleiche ist, ist ob die Laenge gerade oder ungerade ist. Also haengt [mm] $(-1)^k$ [/mm] nicht von der Anzahl $k$ der Transpositionen in der Darstellung ab.
> Also wenn man eine Permutation hat, die man als n
> Transpostionen umformen kann, ist n [mm]\not=[/mm] Anzahl der
> Fehlstände oder?
Nein, muss nicht stimmen, bei der Identitaet hast du z.B. 0 Fehlstaende, du kannst sie aber auch als Verkettung von $0$ Transpositionen darstellen. Oder eine einfache Transposition, sie hat genau einen Fehlstand und du kannst sie als sich selber darstellen.
Im Allgemeinen sind die beiden aber schon verschieden.
LG Felix
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