Permutationen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:13 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | | Die Ordnung einer Permutation [mm] \alpha \in S_{n} [/mm] ist die kleinste Zahl m > 0 mit [mm] \alpha^{m}=1. [/mm] Bestimme alle vorkommende Ordnungen in [mm] S_{3}, S_{4}, S_{5}, S_{6}. [/mm] |
Wie kann ich diese Ordnungen überhaupt bestimmen. Der Gedankenansatz fehlt mir dazu... Danke für eure Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Sacha und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Die Ordnung einer Permutation [mm]\alpha \in S_{n}[/mm] ist die
> kleinste Zahl m > 0 mit [mm]\alpha^{m}=1.[/mm] Bestimme alle
> vorkommende Ordnungen in [mm]S_{3}, S_{4}, S_{5}, S_{6}.[/mm]
> Wie
> kann ich diese Ordnungen überhaupt bestimmen. Der
> Gedankenansatz fehlt mir dazu...
Eine Skizze hilft ungemein bei den Betrachtungen!
Nehmen wir mal [mm] $S_3$ [/mm] her.
Das ist die Menge der Permutationen einer dreielementigen Menge bzw. die Menge der Symmetrien eines gleichseitigen [mm] \triangle
[/mm]
[mm] $S_3$ [/mm] hat $3!=6$ Elemente, die Identität, 3 Spiegelungen (an den Höhen), die jeweils eine Ecke festlassen und die beiden anderen Ecken permutieren und die beiden Drehungen um den Mittelpunkt um 120° und um 240°
Die $1$ in [mm] $\alpha^m=1$ [/mm] bezeichnet hier also die identische Abbildung $id$
Die hat offensichtlich Ordung 1, denn [mm] $id^1=id$
[/mm]
Wie sieht's mit den Spiegelungen aus?
Nehmen wir an, dass die Ecken des Dreiecks mit 1,2,3 durchnumeriert sind und greifen uns diejenige Spiegelung heraus, die die Ecke mit der 1 festlässt und die Ecken 2 und 3 permutiert und nennen sie [mm] $\sigma_1$.
[/mm]
Wie oft musst du diese Spiegelung hintereinander ausführen, um auf $id$ zu kommen?
Offenbar zweimal, denn nach der ersten Spiegelung ist $(1,2,3)$ abgebildet auf $(1,3,2)$, iZ. [mm] $\sigma_1(1,2,3)=(1,3,2)$
[/mm]
Die zweite Anwendung tauscht wieder 2 und 3 und lässt 1 fest, also [mm] $(1,3,2)\mapsto [/mm] (1,2,3)$, iZ. [mm] $\sigma_1(\sigma_1(1,2,3))=\sigma_1(1,3,2)=(1,2,3)$
[/mm]
Damit [mm] $\sigma_1^2=id$, [/mm] also hat die Spiegelung [mm] $\sigma_1$ [/mm] die Ordnung 2
Die anderen beiden Spiegelungen genauso
Nun nimm die eine der Drehungen her, etwa die um 120°, nennen wir sie [mm] $\delta_{120}$
[/mm]
Was ist nun [mm] $\delta_{120}(1,2,3)$? [/mm] ...
Probier nun mal ein bisschen rum ...
> Danke für eure Hillfe !!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Sacha |
Hei danke für deine wirklich präzise und detaillierte Anwort! MERCI VIU MAU ;) ... Ich konnte dank deinen Erläuterungen die die restlichen Permutationen auch herleiten :D ...
Aber du eine allgemeine Frage. Wir behandlen wiegesagt gerade Permutationen. Doch was ich mich dabei frage ist, für was ich diese Sachen überhaupt brauchen werde?! Zum beispiel gibt mir diese Aufgabe irgend eine Erkenntnis für später oder ist diese nur theoretisches herumgespiele?
MFG Sacha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Aber du eine allgemeine Frage. Wir behandlen wiegesagt
> gerade Permutationen. Doch was ich mich dabei frage ist,
> für was ich diese Sachen überhaupt brauchen werde?! Zum
> beispiel gibt mir diese Aufgabe irgend eine Erkenntnis für
> später oder ist diese nur theoretisches herumgespiele?
Ich nehme mal an du bist im ersten Semester oder so. Ich kann dir jetzt leider keine konkrete Anwendung für Physiker sagen, für Mathematiker stellt sich die Frage nach dem Sinn nicht, sie sind halt da, sobald man sie definiert hat und dann untersucht man, wie ihre Natur ist. Permutationen, oder vielmehr Mengen von Permutationen liefern einfache und wichtige Beispiele der Gruppentheorie (z.B. ist jede endliche Gruppe isomorph zu einer Untergruppe einer gewissen [mm] $S_n$). [/mm] Permutationsgruppen beschreiben Symmetrien von physikalischen Systemen, z.B. Molekülen und Kristallen.
Abgesehen davon ermöglichen Permutationen es, bestimmte Objekte der (linearen) Algebra überhaupt handhabbar hinschreiben zu können, z.B. das Produkt alternierender Formen, das ist sehr hilfreich für die Integration auf Mannigfaltigkeiten, die wiederum in der elektromagnetischen Feldtheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie wichtig ist.
Und jetzt fehlen gewiss noch sehr viele Beispiele, die mir gerade nicht einfallen oder ich einfach noch nicht kenne.
Bedenke auch: dass ihr als Physiker am Anfang so viel Mathe macht, hat vor allem zwei Gründe:
1) Ihr müsst später einen haufen Sachen ausrechnen.
2) Ihr lernt, abstrakt zu denken.
Also sei nicht so ungeduldig, falls du keine zu irgend einem Thema nicht gleich ne Anwendung siehst. Deine Matheprofessoren verstehen sehr viel mehr (ich meine sehr sehr viel mehr) von all dem als wir zusammen, und es hat einen Grund, wenn sie etwas drannehmen, glaub mir.
Gruß, Robert
PS: Für diese Frage um die es hier ursprünglich ging, finde ich die Zyklenschreibweise äußerst nützlich (siehe Wikipedia o.ä.), denn die Ordnung kann man dann leicht ablesen und man sieht auch schnell welche Ordnungen möglich sind. Mir ist nicht klar, was diese Sichtweise, die [mm] S_i [/mm] als Symmetrieoperationen gewisser geometrischer Objekte aufzufassen, überhaupt vereinfachen soll. Letztlich probierst du ja dann doch einfach alles aus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Fr 13.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
