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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Milly |
| Aufgabe | Sei S(index n) eine Permutationsgruppe der endlichen Menge (1,2,3...,n).
Zeige: S (index n) hat n! Elemente.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Im Prinzip ist mir klar, was die Aufgabe bedeutet, und auch das S(index n) n! Elemente hat. Ich weiß nur nicht wie ich dies beweisen soll.
Ich dachte, ein konkretes Beispiel könnte vielleicht weiterhelfen. z.B. wenn man für n=2 setzt, bekomt 4 Abbildugen.
Allerdings beweißt das ja noch nicht, dass das für alle n gilt.
Vielleicht käme man hier mit einer vollständigen Induktion weiter, ich bin mir aber nicht sicher wie genau man das machen würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Milli,
> z.B. wenn man für n=2 setzt, bekomt 4 Abbildugen.
Leider ist dem nicht so, wenn du n=2 setzt, bekommst du 2! = 2 Möglichkeiten, nämlich:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
Aber gehen wir das Problem mal ohne vollständige Induktion an 
Geben wir mal ein Element aus [mm] S_n [/mm] ganz allgemein an und nennen das [mm] \pi:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & . & . & . & n \\ \pi(1) & \pi(1) & . & . & . & \pi(n) }
[/mm]
Nun überlegen wir uns:
Wieviele Möglichkeiten haben wir für [mm] \pi(k) [/mm] allgemein?
Da [mm] \pi(1) [/mm] beliebig aus (1,2,...,n) gewählt wird, haben wir dafür also n Möglichkeiten.
[mm] \pi(2) [/mm] kann ebenfalls beliebig aus (1,2,...n) gewählt werden, allerdings muss [mm] \pi(1) \not= \pi(2) [/mm] gelten, somit haben wir eine Möglichkeit weniger, also n-1.
.
.
.
Für [mm] \pi(n) [/mm] haben wir dann nur noch eine Möglichkeit.
Somit ergibt sich für die Menge aller Möglichen Kombinationen [mm]n*(n-1)*...*1 = n! [/mm]
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Milly |
Super, Danke! (meinte übrigens auch 2 möglichkeiten..)
Hatte nochmal wieter überlegt und kam zumindestens näher an deine Lösung heran ;)
Also Danke nochmal
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