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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo zusammen,
Ich hab ein paar Fragen zur folgenden Aufgabe:
Sei [mm] S_{n} [/mm] die Permutationssgruppe.
a) Geg. sei [mm] \mu_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2} \in S_{3}. [/mm] Zu bestimmen ist die kleinste Untergruppe von [mm] S_{3}, [/mm] die [mm] \mu_{1} [/mm] enthält, und man soll auch das Vorzeichen [mm] \varepsilon_{\mu} [/mm] jedes der Untergruppenelemente bestimmen.
Die Kriterien für eine Untergruppe kenn ich, also dass U [mm] \not= \emptyset, [/mm] und dass U gegenüber Multiplikation und Addition abgeschlossen ist.
Aber ich weiß nicht, wie ich das konkret auf diese Aufgabe anwenden soll. ich soll ja die kleinste Untergruppe bestimmen. Kann mir jemand bitte erklären, wie man da vorgehen soll?
b) Die Menge aller [mm] \mu \in S_{n} [/mm] mit [mm] \varepsilon_{\mu} [/mm] = 1 bildet eine Untergruppe von [mm] S_{n}, [/mm] die alternierende Gruppe. Was ist eine alternierende Gruppe? Ist es dasgleiche wie bei den Determinanten? Aber bei einer Gruppe hab ich doch keine Spalten, die gleich sind.
Ich soll diese Aufgabe mithilfe der Zerlegung in Transpositionen beweisen.
c) Dann soll ich begründen, warum die Menge aller [mm] \mu \in S_{n} [/mm] mit [mm] \varepsilon_{\mu} [/mm] 0 -1 keine Untergruppe von [mm] S_{n}? [/mm] Muss man hier wieder die Untergruppenkriterien zeigen?
Wie gesagt, ich kann die Untergruppeneigenschaften nicht auf diese Permutationsgruppe anwenden.
Ich hoffe, es kann mir jemand auf die Sporünge helfen.
Danach hoff ich mal, dass ich die Aufgabe selbst hinkrieg.
Danke,
Moe007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Di 26.04.2005 | | Autor: | Hexe |
zu a) ganz allgemein ist die kleinste Untergruppe die ein Element a enthält <a> also das Erzeugnis von a will heissen {a, [mm] a^2, a^3, [/mm] .. e}
zu b) Die Alternierende Gruppe ist genau das was dasteht die Permutaionsgruppe aus allen geraden Permutationen mit der Matrix hat das gar nix zu tun. Hilfreich beim Beweis ist übrigens die Eigenschaft [mm] \varepsilon_{\mu_1\mu_2}=\varepsilon_{\mu_1}\varepsilon_{\mu_2}
[/mm]
bei c) brauchst du auch die obige eigenschaft es reicht einfach die Abgeschlossenheit zu zeigen also bei b wenn [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] A dann auch [mm] ab\in [/mm] A
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 01.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
danke für deine Hilfe. Aber ich komm leider nicht viel weiter.
ich hab das [mm] \mu_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] in Transpositionen zerlegt, und hab das folgende erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1} \circ \pmat{ 1 & 3 \\ 3 & 1 }
[/mm]
Dann hab ich als Vorzeichen [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] (-1)^{2} [/mm] = 1.
Ich hab es leider immer noch nicht verstanden, wie man die kleinste Untergruppe von [mm] S_{n} [/mm] bestimmen kann.
Für die b) hab ich wie oben das [mm] \mu_{1} [/mm] in Transpositionen zerlegt und komme da auch nicht weiter.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Danke, Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moe007!
> danke für deine Hilfe. Aber ich komm leider nicht viel
> weiter.
> ich hab das [mm]\mu_{1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm] in
> Transpositionen zerlegt, und hab das folgende erhalten:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1} \circ \pmat{ 1 & 3 \\ 3 & 1 }[/mm]
>
> Dann hab ich als Vorzeichen [mm]\varepsilon[/mm] = [mm](-1)^{2}[/mm] = 1.
> Ich hab es leider immer noch nicht verstanden, wie man die
> kleinste Untergruppe von [mm]S_{n}[/mm] bestimmen kann.
Du brauchst hier doch gar nicht in Transpositionen zu zerlegen. Gehe einfach so vor, wie es dir Hexe erklärt hat.
Bilde also die von [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm] erzeugt zyklische Untergruppe
[mm] $\left\langle \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }\right\rangle$
[/mm]
(das ist die kleinste Untergruppe der [mm] $S_3$, [/mm] die diese Permutation enthält)
und berechne dazu
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }^2 [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}$,
[/mm]
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }^3 [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4} [/mm] = id$,
wobei $id$ das neutrale Element in [mm] $S_3$ [/mm] ist.
Es gilt also:
[mm] $\left\langle \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }\right\rangle [/mm] = [mm] \left\{ id, \pmat{1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }, \pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}\right\}$.
[/mm]
> Für die b) hab ich wie oben das [mm]\mu_{1}[/mm] in Transpositionen
> zerlegt und komme da auch nicht weiter.
Du musst ja zeigen:
Wenn [mm] $\varepsilon_{\mu}=1$ [/mm] gilt und [mm] $\varepsilon_{\nu}=1$, [/mm] dann auch [mm] $\varepsilon_{\nu\mu}=1$.
[/mm]
Nun weißt du aber, dass [mm] $\nu$ [/mm] eine gerade Komposition von Transpositionen ist.
Es sei
[mm] $\nu=\tau_n \tau_{n-1} \ldots \tau_1$
[/mm]
mit Transpositionen [mm] $\tau_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$.
[/mm]
Es genügt also zu zeigen:
[mm] $\varepsilon_{\tau\mu}= [/mm] -1 = - [mm] \varepsilon_{\mu} [/mm] = (-1) [mm] \cdot \varepsilon_{\mu} [/mm] $,
wobei [mm] $\tau$ [/mm] eine Transposition ist. Dann folgt induktiv
[mm] $\varepsilon_{\nu\mu} [/mm] = [mm] (-1)^n \cdot \varepsilon_{\mu} [/mm] = 1$,
da $n$ gerade ist.
Schaffst du das?
Viele Grüße
Julius
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