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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
| Aufgabe | | Eine Permutationsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Eintrag gleich 1 und alle anderen Einträge gleich 0 sind. Zeigen Sie: Die Menge P(n,K) aller n x n-Permutationsmatrizen ist eine Untergruppe von GL(n;K). |
Also ich weiß, dass eine Permutationsmatrix aus den Elementen einer Standardbasis, also [mm] e_{1}, e_{2},...,e_{n}, [/mm] die jedoch nicht geordnet sind. Ich muss doch zuerst die Eigenschaft von Untergruppen an den Permutationsmatrizen nachprüfen und dann zeigen, dass die Menge aller P(n,K) eine Untergruppe von GL(n;K) ist. aber wie zeige ich . dass es genau eine Untergruppe von GL(n;K) ist?
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> Eine Permutationsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei
> der in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Eintrag
> gleich 1 und alle anderen Einträge gleich 0 sind. Zeigen
> Sie: Die Menge P(n,K) aller n x n-Permutationsmatrizen ist
> eine Untergruppe von GL(n;K).
> Also ich weiß, dass eine Permutationsmatrix aus den
> Elementen einer Standardbasis, also [mm]e_{1}, e_{2},...,e_{n},[/mm]
(*) Eigenschaft
> die jedoch nicht geordnet sind. Ich muss doch zuerst die
> Eigenschaft von Untergruppen an den Permutationsmatrizen
> nachprüfen und dann zeigen, dass die Menge aller P(n,K)
> eine Untergruppe von GL(n;K) ist. aber wie zeige ich . dass
> es genau eine Untergruppe von GL(n;K) ist?
Wie immer alle Untergruppenaxiome abklappern:
Es ist doch
[mm]\operatorname{GL}(n,K)=\{A\in K^{n\times n}| A\textrm{ invertierbar}\}[/mm]
und [mm]P(n,K)=\{P\in K^{n\times n}\;|\; P \textrm{ ist Permutationsmatrix}\}[/mm]
Untergruppeneigenschaften:
(U0) P(n,K) ist Teilmenge GL(n,K)
(U1) Für [mm]Q,R\in P(n,K)[/mm] ist auch QR in P(n,k)
(U3) Die Inverse von [mm]Q\in P(n,K)[/mm] muss auch in P(n,K) liegen.
Zu den Punkten:
(U0) sind alle Permutationsmatrizen in GL(n,K), also invertierbar. Wenn ja warum? Fertig.
(U1) Nimm dir zwei Permutationsmatrizen Q,R aus P(n,K). Mit der lustigen Summenschreibweise für [mm][/mm]QR=S[mm], also [/mm][mm] s_{ij}=\sum_{\ell=0}^k q_{i\ell}e_{\ell j}$ [/mm] und ein paar weiteren Überlegungen musst du zeigen, dass das Produkt QR invertierbar ist und die Eigenschaft (*) erfüllt ist
(U2) Wie sieht die inverse von einer Permutationsmatrix aus? Ohne Rechnen, erst nachdenken.
gruß
wieschoo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
vielen dank dann werde ich das jetzt mal versuchen bzw morgen :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 31.12.2012 | | Autor: | wieschoo |
> vielen dank dann werde ich das jetzt mal versuchen bis
> morgen
nächstes Jahr 
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