Pfaff'sche Formen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Di 26.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier eine andere Aufgabe vom Übungsblatt, bei der ich nicht so ganz weiß, wie ich vorgehen soll:
Finde Funktionen [mm] f_i [/mm] mit [mm] \omega_i=df_i [/mm] für
(a) [mm] \omega_1(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{e^{x^2+y}}{x^2}((2x^2-1)dx+xdy), [/mm] x>0, [mm] y\in\IR;
[/mm]
die zweite lasse ich erstmal weg...
So, nun habe ich mir das mal angeschaut und mich gefragt, wie man das denn jetzt macht. Ich habe hier ja kein [mm] \gamma [/mm] mehr, über das ich integrieren kann... In der Vorlesung hatten wir das Beispiel von der Windungsform, da haben wir aber nur geguckt, ob [mm] \omega [/mm] geschlossen ist - muss ich das hier auch überprüfen? Jedenfalls haben wir da die beiden "Summanden" einzeln abgeleitet. Mache ich das hier auch? Und was ist dann letztendlich die Stammfunktion [mm] f_i?
[/mm]
Bisher habe ich da leider noch nichts zu gefunden - oder ich hab's überlesen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
Hallo,
> (a) [mm]\omega_1(x,y)[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{x^2+y}}{x^2}((2x^2-1)dx+xdy),[/mm] x>0, [mm]y\in\IR;[/mm]
> So, nun habe ich mir das mal angeschaut und mich gefragt,
> wie man das denn jetzt macht. Ich habe hier ja kein [mm]\gamma[/mm]
> mehr, über das ich integrieren kann... In der Vorlesung
> hatten wir das Beispiel von der Windungsform, da haben wir
> aber nur geguckt, ob [mm]\omega[/mm] geschlossen ist - muss ich das
> hier auch überprüfen? Jedenfalls haben wir da die beiden
> "Summanden" einzeln abgeleitet. Mache ich das hier auch?
> Und was ist dann letztendlich die Stammfunktion [mm]f_i?[/mm]
Damit [mm]\omega _{1}[/mm] überhaupt eine Stammfunktion haben, muß die notwendige Bedingung [mm]d\omega _{1} \; = \;0[/mm] erfüllt sein.
Hier muß also überprüft werden, ob
[mm]\frac{\delta }
{{\delta y}}\;\left( {\frac{{e^{x^{2} \; + \;y} }}
{{x^{2} }}\;\left( {2\;x^{2} \; - \;1} \right)} \right)\; = \;\frac{\delta }
{{\delta x}}\;x[/mm]
erfüllt ist.
Hinreichend ist die Bedingung der Sternförmigkeit der Definitionsmenge bezügliches eines Punktes der Definitionsmenge.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 26.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo MathePower!
> > (a) [mm]\omega_1(x,y)[/mm] =
> > [mm]\bruch{e^{x^2+y}}{x^2}((2x^2-1)dx+xdy),[/mm] x>0, [mm]y\in\IR;[/mm]
>
> > So, nun habe ich mir das mal angeschaut und mich gefragt,
> > wie man das denn jetzt macht. Ich habe hier ja kein [mm]\gamma[/mm]
> > mehr, über das ich integrieren kann... In der Vorlesung
> > hatten wir das Beispiel von der Windungsform, da haben wir
> > aber nur geguckt, ob [mm]\omega[/mm] geschlossen ist - muss ich das
> > hier auch überprüfen? Jedenfalls haben wir da die beiden
> > "Summanden" einzeln abgeleitet. Mache ich das hier auch?
> > Und was ist dann letztendlich die Stammfunktion [mm]f_i?[/mm]
>
> Damit [mm]\omega _{1}[/mm] überhaupt eine Stammfunktion haben, muß
> die notwendige Bedingung [mm]d\omega _{1} \; = \;0[/mm] erfüllt
> sein.
Danke schon mal für die Antwort - das dachte ich mir schon. Frage ist nur, ob das in der Aufgabenstellung auch gefordert ist, weil es schließlich insgesamt nur 5 Punkte gibt, und zwei von diesen Aufgaben da sind. Vielleicht merkt man ja auch, wenn man die Stammfunktion berechnet, dass es keine gibt, dass man also quasi nicht weiterkommt, sodass man es nicht extra überprüfen muss? (Ich sehe das Überprüfen eher als Möglichkeit, um nur herauszufinden, ob es eine gibt, aber welche es ist, interessiert mich dann nicht.)
> Hier muß also überprüft werden, ob
>
> [mm]\frac{\delta }
{{\delta y}}\;\left( {\frac{{e^{x^{2} \; + \;y} }}
{{x^{2} }}\;\left( {2\;x^{2} \; - \;1} \right)} \right)\; = \;\frac{\delta }
{{\delta x}}\;x[/mm]
>
> erfüllt ist.
Okay - damit hatte ich auch auf meinem Schmierzettel schon angefangen.
Aber was ist denn dann letztendlich die Stammfunktion? Also ich meine, wenn ich das obige überprüft habe, dann weiß ich, dass es eine gibt (nehme ich jetzt mal an, jedenfalls bei einem der beiden Aufgabenteile), aber wie bekomme ich sie dann?
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Gibt es eine Stammfunktion [mm] $f_1$ [/mm] von
[mm] $\omega_1(x) [/mm] = [mm] a_1(x,y)dx [/mm] + [mm] a_2(x,y)dy$,
[/mm]
so muss ja gelten:
[mm] $\omega_1(x) [/mm] = [mm] df_1(x) [/mm] = [mm] \frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y)\, [/mm] dx + [mm] \frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y)\, [/mm] dy$.
Wir müssen dann also lösen:
[mm] $\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y) =a_1(x,y)$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y) [/mm] = [mm] a_2(x,y)$.
[/mm]
In deinem Fall musst du also lösen (durch Integration!):
[mm] $\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] \frac{e^{x^2+y}}{x^2}(2x^2-1)$,
[/mm]
(hier musst du nach $x$ integrieren)
[mm] $\frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y) [/mm] = [mm] \frac{e^{x^2+y}}{x^2} \cdot [/mm] x$,
(hier musst du nach $y$ integrieren).
Du solltest aber wirklich erst einmal überprüfen, ob überhaupt eine Stammfunktion existiert (wie von Michael angedeutet).
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Hatte ich mich eigentlich schon hiefür bedankt? Danke. 
> In deinem Fall musst du also lösen (durch Integration!):
>
> [mm]\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y) = \frac{e^{x^2+y}}{x^2}(2x^2-1)[/mm],
>
> (hier musst du nach [mm]x[/mm] integrieren)
>
> [mm]\frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y) = \frac{e^{x^2+y}}{x^2} \cdot x[/mm],
>
> (hier musst du nach [mm]y[/mm] integrieren).
Ist das hier jetzt zweimal [mm] f_1? [/mm] In deiner allgemeinen Formel hattest du glaube ich einmal [mm] f_2 [/mm] stehen...
Jedenfalls habe ich jetzt mal versucht, das zu berechnen:
[mm] \integral{\bruch{e^{x^2+y}}{x}dy} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x^2+y}}{x}
[/mm]
aber was mache ich mit:
[mm] \integral{\bruch{e^{x^2+y}}{x^2}(2x^2-1)dx} [/mm] ?
Ich käme da durch Umformen so weit, dass ich noch [mm] \integral{\bruch{1}{x^2}*e^{x^2+y}dx} [/mm] berechnen müsste. Aber wie mache ich das am besten?
Oder habe ich mich sowieso vielleicht schon verrechnet?
> Du solltest aber wirklich erst einmal überprüfen, ob
> überhaupt eine Stammfunktion existiert (wie von Michael
> angedeutet).
Meinst du wirklich, das könnte sein? Ich glaube es eigentlich nicht, bei dieser Aufgabenstellung. Aber wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt auch raus, dass es wirklich eine gibt.
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 28.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Nachdem ich mich jetzt heute und gestern dumm und dusselig gerechnet habe, habe ich die erste Aufgabe endlich gelöst!
> Jedenfalls habe ich jetzt mal versucht, das zu berechnen:
>
> [mm]\integral{\bruch{e^{x^2+y}}{x}dy}[/mm] = [mm]\bruch{e^{x^2+y}}{x}[/mm]
>
> aber was mache ich mit:
>
> [mm]\integral{\bruch{e^{x^2+y}}{x^2}(2x^2-1)dx}[/mm] ?
> Ich käme da durch Umformen so weit, dass ich noch
> [mm]\integral{\bruch{1}{x^2}*e^{x^2+y}dx}[/mm] berechnen müsste.
> Aber wie mache ich das am besten?
Also, hier kann man das zuerst mal in zwei Integrale aufspalten (also die Klammer ausmultiplizieren), und dann macht man beim zweiten Integral partielle Integration. Da erhält man dann das Integral [mm] \integral{2e^{x^2+y}dx}, [/mm] das sowieso schon einmal da steht, jetzt noch einmal, aber mit einem Minus davor. Deswegen kürzt sich das weg und es bleibt übrig:
[mm] \bruch{e^{x^2+y}}{x}
[/mm]
(Und wenn ich mal ein bisschen besser geguckt hätte, was ich vorher schon berechnet habe, dann hätte ich es auch direkt gesehen! Ich hab nämlich bei der Überprüfung, ob überhaupt eine Stammfunktion existiert, genau dieses Ding da abgeleitet und das herausbekommen, wo ich jetzt verzweifelt versucht habe, das zu verstehen.)
Und was ist jetzt ganz [mm] f_1? [/mm] Ist das jetzt genau das obige Integral? Ich hab' jetzt erst gerade festgestellt, dass ich ja bei beiden das Gleiche raushabe - muss das so sein?
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Do 28.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > [mm]\integral{\bruch{e^{x^2+y}}{x}dy}[/mm] = [mm]\bruch{e^{x^2+y}}{x}[/mm]
Eigentlich müsste da stehen:
[mm]\integral{\bruch{e^{x^2+y}}{x}dy}[/mm] = [mm]\bruch{e^{x^2+y}}{x} + C(x)[/mm] ,
denn da ja nach $y$ integriert wird, kann durchaus noch eine Funktion von $x$ dazukommen (die wir dann anschließend mit der Integration nach $x$ ermitteln müssen.
> >
> > aber was mache ich mit:
> >
> > [mm]\integral{\bruch{e^{x^2+y}}{x^2}(2x^2-1)dx}[/mm] ?
> > Ich käme da durch Umformen so weit, dass ich noch
> > [mm]\integral{\bruch{1}{x^2}*e^{x^2+y}dx}[/mm] berechnen müsste.
> > Aber wie mache ich das am besten?
>
> Also, hier kann man das zuerst mal in zwei Integrale
> aufspalten (also die Klammer ausmultiplizieren), und dann
> macht man beim zweiten Integral partielle Integration. Da
> erhält man dann das Integral [mm]\integral{2e^{x^2+y}dx},[/mm] das
> sowieso schon einmal da steht, jetzt noch einmal, aber mit
> einem Minus davor. Deswegen kürzt sich das weg und es
> bleibt übrig:
> [mm]\bruch{e^{x^2+y}}{x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber eigentlich erhältst du wieder
[mm]\bruch{e^{x^2+y}}{x} + C(y)[/mm],
wobei $C(y)$ eine Funktion nur von $y$ (und damit eine Konstante bezüglich $x$) ist.
Ein Vergleich der beiden Lösungen zeigt aber, dass $C(x)$ bzw. $C(y)$ nicht von $x$ bzw. $y$ abhängen können und daher nur Konstanten sind.
Alle Stammfunktionen der Pfaffschen Form [mm] $\omega_1$ [/mm] sind also:
[mm] $f_1(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{e^{x^2+y}}{x} [/mm] + C$,
mit $C [mm] \in \IR$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
> [mm]\bruch{\partial}{\partial{x}}x[/mm] = 1
> Da hast du doch was übersehen, Michael, oder? Es muss doch
> heißen:
> [mm]\bruch{\partial}{\partial{x}}(\bruch{e^{x^2+y}}{x^2}*x)[/mm] =
> ... = [mm]\bruch{e^{x^2+y}(2x^2-1)}{x^2}[/mm]
Sorry, die Integrabilitätsbedingungen sind aber so.
[mm]\frac{d}
{{dy}}\,\left( {\frac{{e^{x^2 \; + \;y} }}
{{x^2 }}\;\left( {2\;x^2 \; - \;1} \right)} \right)\; \ne \;\frac{d}
{{dx}}\;x[/mm]
Wenn Du die 1-Form ableitest, dann kommt das auch heraus.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Mathepower!
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial{x}}x[/mm] = 1
> > Da hast du doch was übersehen, Michael, oder? Es muss
> doch
> > heißen:
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial{x}}(\bruch{e^{x^2+y}}{x^2}*x)[/mm]
> =
> > ... = [mm]\bruch{e^{x^2+y}(2x^2-1)}{x^2}[/mm]
>
> Sorry, die Integrabilitätsbedingungen sind aber so.
Sorry, das verstehe ich jetzt aber nicht, was du mir damit sagen willst. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich meine, du hast die Funktion "falsch gelesen" - du hast nur den Teil von dy genommen, der in der Klammer steht. Und es heißt doch:
[mm] \partial_if_k=\partial_kf_i
[/mm]
Und [mm] f_i [/mm] ist doch nicht x, sondern [mm] \bruch{e^{x^2+y}}{x^2}*x [/mm] - oder was mache ich hier jetzt falsch??? ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
> [mm]\frac{d}
{{dy}}\,\left( {\frac{{e^{x^2 \; + \;y} }}
{{x^2 }}\;\left( {2\;x^2 \; - \;1} \right)} \right)\; \ne \;\frac{d}
{{dx}}\;x[/mm]
>
> Wenn Du die 1-Form ableitest, dann kommt das auch heraus.
Wenn ich was ableite, kommt was heraus? Also ich hatte jetzt heraus, dass es eine Stammfunktion gibt!?
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Do 28.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ja, das ist alles richtig so, Michael hat sich halt verlesen. Egal
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hier jetzt der zweite Teil der Aufgabe:
[mm] \omega_2(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{2x\;dx-(1+x^2\tan{y})\;dy}{x^2-\tan{y}}, [/mm] x>0, [mm] y\in(-\pi/2,0)
[/mm]
Es ist doch richtig, dass ich hier zuerst folgendes überprüfen muss:
[mm] \bruch{\partial}{\partial{y}}(\bruch{2x}{x^2-\tan{y}}) [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{x}}(\bruch{-1-x^2\tan{y}}{x^2-\tan{y}})
[/mm]
Ich glaub', das stimmt (mein Computer hat ein bisschen was für mich gerechnet, allerdings hatte ich da wohl einen Vorzeichenfehler - da muss doch auf der rechten Seite "-" stehen, oder?, weil da ein Minus vor der Klammer im Zähler steht)
So, und nun ist [mm] f_2 [/mm] gesucht, so dass:
[mm] \bruch{\partial{f_2}}{\partial{x}}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{2x}{x^2-\tan{y}}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial{f_2}}{\partial{y}}(x,y) [/mm] = [mm] -\bruch{1+x^2\tan{y}}{x^2-\tan{y}}
[/mm]
Richtig?
Eine Frage habe ich aber noch: wofür steht da noch x>0, [mm] y\in(-\pi/2,0) [/mm] in der Aufgabenstellung? Merke ich das irgendwann beim Rechnen? Oder weiß das vielleicht jetzt schon jemand?
Über einen Tipp, wie man das am besten weiter berechnen kann, wäre ich auch dankbar...
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
> So, und nun ist [mm]f_2[/mm] gesucht, so dass:
>
> [mm]\bruch{\partial{f_2}}{\partial{x}}(x,y)[/mm] =
> [mm]\bruch{2x}{x^2-\tan{y}}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{\partial{f_2}}{\partial{y}}(x,y)[/mm] =
> [mm]-\bruch{1+x^2\tan{y}}{x^2-\tan{y}}[/mm]
>
> Richtig?
Sofern die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, stimmt das.
>
> Eine Frage habe ich aber noch: wofür steht da noch x>0,
> [mm]y\in(-\pi/2,0)[/mm] in der Aufgabenstellung? Merke ich das
> irgendwann beim Rechnen? Oder weiß das vielleicht jetzt
> schon jemand?
>
Schau Dir mal den Nenner an, dieser kann für den gewählten Definitionsbereich nie 0 werden.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Do 28.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo ihr zwei - oder vielleicht will auch mal wer anders?
> 
>
Darf ich mich auch wieder mal versuchen? Wenns völliger Quatsch ist, dann verzeih mir bitte und schick mich zur Hölle!
> Es hakt bei mir jetzt noch etwas beim Integrieren. Also ich
> habe bereits berechnet:
> [mm]\integral{\bruch{2x}{x^2-\tan{y}}dx}[/mm] = [mm]\ln(x^2-\tan{y})[/mm]
Ich denke, da fehlen noch die Betragsstriche!
>
> aber hier komme ich nicht weiter:
> [mm]-\integral{\bruch{1+x^2\tan{x}}{x^2-\tan{y}}dy}[/mm]
>
> Falls hier partielle Integration weiterhilft, wäre es
> schön, wenn mir jemand sagen könnte, was ich als was wähle,
> denn bisher bin ich nicht weitergekommen, es sei denn, es
> kommt dafür am Ende 0 heraus...
>
Ich versuchs einfach man mit der Substitution
$u := [mm] \tan [/mm] y$
$dy := [mm] \cos^2(y) \, [/mm] du = [mm] \bruch{du}{u^2+1}$
[/mm]
Somit erhalte ich:
[mm] $-\integral{\bruch{1+x^2\tan{x}}{x^2-\tan{y}}dy} [/mm] =$
[mm] $-(1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{1}{x^2-\tan{y}}dy} [/mm] =$
[mm] $(1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{1}{\tan{y}-x^2}dy} [/mm] =$
[mm] $(1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{du}{(u-x^2)(u^2+1)}}$
[/mm]
Dann habe ich weiter gemacht mit Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{1}{(u-x^2)(u^2+1)}=\bruch{A}{u-x^2}+\bruch{Bu+C}{u^2+1}$
[/mm]
Achtung: $x_$ gilt als konstant, $u_$ ist die Variable!
Falls ich mich nicht verrechnet habe, ergibt das:
[mm] $A=\bruch{1}{x^4+1}$
[/mm]
[mm] $B=-\bruch{1}{x^4+1}$
[/mm]
[mm] $C=-\bruch{x^2}{x^4+1}$
[/mm]
Und schliesslich für das Integral:
[mm] $\integral{\bruch{du}{(u-x^2)(u^2+1)}} [/mm] = $
[mm] $\bruch{1}{x^4+1}(\ln |u-x^2|-\bruch{1}{2} \ln (u^2+1)-x^2\arctan [/mm] u) =$
[mm] $\bruch{1}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|-\bruch{1}{2} \ln (\tan^2{y}+1)-x^2y) [/mm] =$
[mm] $\bruch{1}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|-\bruch{1}{2} \ln \bruch{1}{\cos^2y}-x^2y) [/mm] =$
[mm] $\bruch{1}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|+\bruch{1}{2} \ln {\cos^2y}-x^2y) [/mm] =$
[mm] $\bruch{1}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|+\ln |\cos [/mm] y|-x^2y)$
Und somit:
[mm] $-\integral{\bruch{1+x^2\tan{x}}{x^2-\tan{y}}dy} [/mm] = [mm] \bruch{1+x^2\tan x}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|+\ln |\cos [/mm] y|-x^2y)$
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Do 28.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
> Darf ich mich auch wieder mal versuchen? Wenns völliger
> Quatsch ist, dann verzeih mir bitte und schick mich zur
> Hölle!
Natürlich darfst du auch nochmal - hatte mich schon gewundert, wo du bleibst. (Und ich hoffe ja mal, dass du hier keinen völligen Quatsch geschrieben hast - aber ich konnte es nicht als solchen ansehen...)
> > Es hakt bei mir jetzt noch etwas beim Integrieren. Also ich
> > habe bereits berechnet:
> > [mm]\integral{\bruch{2x}{x^2-\tan{y}}dx}[/mm] =
> [mm]\ln(x^2-\tan{y})[/mm]
>
> Ich denke, da fehlen noch die Betragsstriche!
Ja - komisch, die hatte mein Computer mir gar nicht angegeben...
> > aber hier komme ich nicht weiter:
> > [mm]-\integral{\bruch{1+x^2\tan{x}}{x^2-\tan{y}}dy}[/mm]
> >
> > Falls hier partielle Integration weiterhilft, wäre es
> > schön, wenn mir jemand sagen könnte, was ich als was wähle,
> > denn bisher bin ich nicht weitergekommen, es sei denn, es
> > kommt dafür am Ende 0 heraus...
> >
>
> Ich versuchs einfach man mit der Substitution
>
> [mm]u := \tan y[/mm]
>
> [mm]dy := \cos^2(y) \, du = \bruch{du}{u^2+1}[/mm]
Frage: wie kommst du auf [mm] \cos^2(y)??? [/mm] Hättest du das einfach weggelassen, wäre ich auch auf den rechten Teil gekommen, aber so weiß ich nicht, wo das herkommt!?
> Somit erhalte ich:
>
> [mm]-\integral{\bruch{1+x^2\tan{x}}{x^2-\tan{y}}dy} =[/mm]
>
> [mm]-(1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{1}{x^2-\tan{y}}dy} =[/mm]
>
> [mm](1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{1}{\tan{y}-x^2}dy} =[/mm]
>
> [mm](1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{du}{(u-x^2)(u^2+1)}}[/mm]
Und wie du nun auf die letzte Zeile hier kommst, weiß ich auch nicht so wirklich... (Irgendwie habe ich glaube ich noch nicht so oft substituiert...) Vielleicht könntest du mir hier noch auf die Sprünge helfen?
> Dann habe ich weiter gemacht mit Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{1}{(u-x^2)(u^2+1)}=\bruch{A}{u-x^2}+\bruch{Bu+C}{u^2+1}[/mm]
Auch hier fehlt mir wohl irgendwie die Erfahrung - eine normale Partialbruchzerlegung kenne ich ja, aber wieso steht im Zähler des zweiten Bruches nicht einfach nur B?
(Vielleicht kann man das irgendwie kurz erklären, denn ich glaube, wenn du's ausführlich machst, könntest du ein ganzes Buch drüber schreiben, weil ich glaube, dass mir da dann doch irgendwie Hintergrundwissen fehlt...)
> Achtung: [mm]x_[/mm] gilt als konstant, [mm]u_[/mm] ist die Variable!
Danke für den Hinweis - ist zwar eigentlich klar, aber ich hätte mich beinahe doch vertan!
> Falls ich mich nicht verrechnet habe, ergibt das:
Nein, du hast dich nicht verrechnet - ich habe es nachgerechnet und dasselbe erhalten. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
> [mm]A=\bruch{1}{x^4+1}[/mm]
>
> [mm]B=-\bruch{1}{x^4+1}[/mm]
>
> [mm]C=-\bruch{x^2}{x^4+1}[/mm]
>
> Und schliesslich für das Integral:
>
> [mm]\integral{\bruch{du}{(u-x^2)(u^2+1)}} =[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x^4+1}(\ln |u-x^2|-\bruch{1}{2} \ln (u^2+1)-x^2\arctan u) =[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|-\bruch{1}{2} \ln (\tan^2{y}+1)-x^2y) =[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|-\bruch{1}{2} \ln \bruch{1}{\cos^2y}-x^2y) =[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|+\bruch{1}{2} \ln {\cos^2y}-x^2y) =[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|+\ln |\cos y|-x^2y)[/mm]
>
> Und somit:
>
> [mm]-\integral{\bruch{1+x^2\tan{x}}{x^2-\tan{y}}dy} = \bruch{1+x^2\tan x}{x^4+1}(\ln |\tan{y}-x^2|+\ln |\cos y|-x^2y)[/mm]
>
Okay - super! Vielen Dank - da wäre ich nie im Leben drauf gekommen!!!
Allerdings weiß ich jetzt doch nicht, was dann mein gesuchtes [mm] f_2 [/mm] ist, denn ich hatte ja bei dem anderen Integral [mm] ln|x^2-\tan{y}| [/mm] raus - muss man das jetzt addieren oder so?
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Do 28.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Lieber Paul!
>
> Natürlich darfst du auch nochmal - hatte mich schon
> gewundert, wo du bleibst. (Und ich hoffe ja mal, dass
> du hier keinen völligen Quatsch geschrieben hast - aber ich
> konnte es nicht als solchen ansehen...)
>
Na, ja. Beruflicher Stress... :-(
>
> Frage: wie kommst du auf [mm]\cos^2(y)???[/mm] Hättest du das
> einfach weggelassen, wäre ich auch auf den rechten Teil
> gekommen, aber so weiß ich nicht, wo das herkommt!?
>
Das kommt daher, weil ich alles gerne kompliziert mache!
Ich habe ja substituiert:
$u := [mm] \tan [/mm] y$
Da könnte man wie du schreiben: $y := [mm] \arctan [/mm] u$ und käme so in einem weiteren schritt auf dein $du_$
Ich habe aber so gerechnet:
[mm] $\bruch{du}{dy}=\bruch{1}{\cos^2y}$ [/mm] Erste Ableitung des Tangens.
..und dann nach $dy_$ aufgelöst:
$dy = [mm] du*\cos^2y$
[/mm]
Und weil gilt: [mm] $u=\tan [/mm] y$ gilt auch: [mm] $u^2=\tan^2y=\bruch{\sin^2y}{\cos^2y}=\bruch{1-\cos^2y}{cos^2y}$
[/mm]
Also: [mm] $u^2=\bruch{1-\cos^2y}{cos^2y}$. [/mm] Und das kannst du nach [mm] $\cos^2y$ [/mm] auflösen und oben einsetzen!
Ich bin halt ein kompliziertes Geschöpf, und so sind es dann naturgemäss auch meine Berechnungen!
>
> [mm]\bruch{1}{(u-x^2)(u^2+1)}=\bruch{A}{u-x^2}+\bruch{Bu+C}{u^2+1}[/mm]
> Auch hier fehlt mir wohl irgendwie die Erfahrung - eine
> normale Partialbruchzerlegung kenne ich ja, aber wieso
> steht im Zähler des zweiten Bruches nicht einfach nur B?
> (Vielleicht kann man das irgendwie kurz erklären, denn ich
> glaube, wenn du's ausführlich machst, könntest du ein
> ganzes Buch drüber schreiben, weil ich glaube, dass mir da
> dann doch irgendwie Hintergrundwissen fehlt...)
>
Ja, das ist eine normale Partialbruchzerlegung. Die Regel ist ja die, dass man bei linearen Nennern im Zähler ganz einfach eine Zahl nimmt. Bei Nennern aber, wo die Variable im Quadrat steht (also etwa [mm] $x^2+1)$, [/mm] muss der Zähler die Form $Ax+B_$ haben.
>Somit erhalte ich:
>
[mm] >$-\integral{\bruch{1+x^2\tan{x}}{x^2-\tan{y}}dy} [/mm] =$
>
[mm] >$-(1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{1}{x^2-\tan{y}}dy} [/mm] =$
>
[mm] >$(1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{1}{\tan{y}-x^2}dy} [/mm] =$
>
[mm] >$(1+x^2\tan{x})\integral{\bruch{du}{(u-x^2)(u^2+1)}}$
[/mm]
Na ja, die Substitution habe ich erst in der untersten Zeile vorgenommen. Für [mm] $\tan [/mm] y$ habe ich einfach $u_$ eingesetzt, und für $dy_$ habe ich, wie ober berechnet, [mm] $\bruch{du}{u^2+1}$ [/mm] eingesetzt.
> > Achtung: [mm]x_[/mm] gilt als konstant, [mm]u_[/mm] ist die Variable!
> Danke für den Hinweis - ist zwar eigentlich klar, aber ich
> hätte mich beinahe doch vertan!
>
Ja, das komms schneller vor, als man denkt. Der Mensch ist ja ein Gewohnheitstier, und man hat sich ja so sehr daran gewöhnt, dass die Variable in einer Partialbruchzerlegung mit $x_$ bezeichnet wird. Ich dachte einfach, ich warne dich mal!
> Nein, du hast dich nicht verrechnet - ich habe es
> nachgerechnet und dasselbe erhalten.
>
Danke, ich verneige mich vor dem erlauchten Publikum!
> > [mm]A=\bruch{1}{x^4+1}[/mm]
>
>
>
> Allerdings weiß ich jetzt doch nicht, was dann mein
> gesuchtes [mm]f_2[/mm] ist, denn ich hatte ja bei dem anderen
> Integral [mm]ln|x^2-\tan{y}|[/mm] raus - muss man das jetzt addieren
> oder so?
Soviel ich weiss, ja!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
