Pfaffsche Form < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier meine erste bearbeitete Aufgabe vom aktuellen Zettel:
Betrachte die Kurve [mm] t\mapsto(e^{\cos t},t^2-2\pi t,\sin\bruch{t}{2}) [/mm] für [mm] t\in[0,2\pi]. [/mm] Berechne die Integrale
[mm] \integral_{\gamma}{(xdx+ydy+zdz)} [/mm] und [mm] \integral_{\gamma}z\;dy.
[/mm]
Bevor ich da wild weiterrechne, würde ich gerne mal wissen, ob mein Anfang richtig ist - erstmal auch nur bei dem zweiten Integral:
[mm] \integral_{\gamma}z\;dy [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\omega(\gamma(t))*\gamma'(t)dt} [/mm] = [mm] \integral_0^{2\pi}{\sin\bruch{t}{2}*(2t-2\pi)*\gamma'(t)\;dt}
[/mm]
Hier ist doch [mm] \gamma [/mm] die obige Abbildung, oder? Und die Grenzen müssten doch eigentlich auch die Grenzen von t sein...
Und [mm] \gamma'(t) [/mm] habe ich auch schon berechnet:
[mm] \gamma'(t) [/mm] = [mm] (e^{\cos(t)}(-\sin(t)),2t-2\pi,\cos(\bruch{t}{2}))
[/mm]
Ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet?
So, und nun müsste ich das da in mein Integral noch einsetzen. Falls das soweit richtig ist: gibt's da irgendeinen Trick, wie man das weiterrechnet? Oder ist das dann einfach nur sture Rechnerei? Womit ich allerdings auch noch nicht ganz klar komme, ist die Sache, dass die Ableitung ja eine Art Vektor ist - wie rechne ich denn damit weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Di 26.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die konkrete Anwendung der Kurvenintegrale hast du noch nicht so ganz verstanden.
Es gilt für eine Pfaffsche Form [mm] $\omega$ [/mm] auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] und eine parametrisierte differenzierbare Kurve [mm] $\gamma:[a,b] \to \IR^n$ [/mm] (die genauen Voraussetzungen schenke ich mir jetzt mal...)
[mm] $\int\limits_{\gamma} \omega [/mm] := [mm] \int\limits_a^b \langle \omega(\gamma(t)),\gamma'(t) \rangle\, [/mm] dt$,
mit
[mm] $\langle dx_i,e_j\rangle:= \delta_{ij}$.
[/mm]
> Betrachte die Kurve [mm]t\mapsto(e^{\cos t},t^2-2\pi t,\sin\bruch{t}{2})[/mm]
> für [mm]t\in[0,2\pi].[/mm] Berechne die Integrale
> [mm]\integral_{\gamma}{(xdx+ydy+zdz)}[/mm] und
> [mm]\integral_{\gamma}z\;dy.[/mm]
Dein Ansatz für das zweite Integral lautete:
> [mm]\integral_{\gamma}z\;dy= \integral_{0}^{2\pi}{\omega(\gamma(t))*\gamma'(t)dt}[/mm]
Das ist noch richtig, weil es das Gleiche meint wie bei mir oben. Man muss hier das Malzeichen geeignet interpretieren. Schließlich wird hier eine Differentialform mit einem Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] multipliziert, was zunächst nicht definiert ist. Man definiert es aber wie ich es oben getan habe.
> [mm]= \integral_0^{2\pi}{\sin\bruch{t}{2}*(2t-2\pi)*\gamma'(t)\;dt}[/mm]
Das ist doppelt gemoppelt.  Du hast hier zweimal [mm] $\gamma'(t)$ [/mm] mit reingenommen.
Richtig lautet es gemäß obiger Formel so:
[mm] $\int\limits_{\gamma} z\, [/mm] dy = [mm] \integral_0^{2\pi} \langle \sin \left( \frac{t}{2}\right)\, [/mm] dy , [mm] \pmat{e^{\cos(t)}(-\sin(t)) \\ 2t-2\pi \\ \frac{1}{2}\cos(\bruch{t}{2})} \rangle\, [/mm] dt = [mm] \integral_0^{2\pi} \sin \left( \frac{t}{2}\right) (2t-2\pi) \, [/mm] dt$
(beachte bitte, dass du dich auch bei der Ableitung vertan hattest).
Klar? 
Den Rest schaffst du jetzt alleine... ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Di 26.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Leider bin ich zu blöd dafür... ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
> Es gilt für eine Pfaffsche Form [mm]\omega[/mm] auf dem [mm]\IR^n[/mm] und
> eine parametrisierte differenzierbare Kurve [mm]\gamma:[a,b] \to \IR^n[/mm]
> (die genauen Voraussetzungen schenke ich mir jetzt mal...)
>
> [mm]\int\limits_{\gamma} \omega := \int\limits_a^b \langle \omega(\gamma(t)),\gamma'(t) \rangle\, dt[/mm],
Sollten das diese Klammern sein, die man leicht mit dem Skalarprodukt verwechseln kann? Das hat mich auch schon ganz durcheinander gebracht, was der da in der Vorlesung erzählt hat...
> mit
>
> [mm]\langle dx_i,e_j\rangle:= \delta_{ij}[/mm].
Sorry - aber ich hab' keine Ahnung, was das bedeuten soll! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") . Was bedeutet denn [mm] dx_i? [/mm] Dass das, was davor steht nach [mm] x_i [/mm] abgeleitet wird? Oder das, was dahinter steht? Und wo kommt auf einmal ein e her?
> > Betrachte die Kurve [mm]t\mapsto(e^{\cos t},t^2-2\pi t,\sin\bruch{t}{2})[/mm]
> > für [mm]t\in[0,2\pi].[/mm] Berechne die Integrale
> > [mm]\integral_{\gamma}{(xdx+ydy+zdz)}[/mm] und
> > [mm]\integral_{\gamma}z\;dy.[/mm]
>
> Dein Ansatz für das zweite Integral lautete:
>
> > [mm]\integral_{\gamma}z\;dy= \integral_{0}^{2\pi}{\omega(\gamma(t))*\gamma'(t)dt}[/mm]
>
> Das ist noch richtig, weil es das Gleiche meint wie bei mir
> oben. Man muss hier das Malzeichen geeignet interpretieren.
> Schließlich wird hier eine Differentialform mit einem
> Vektor des [mm]\IR^3[/mm] multipliziert, was zunächst nicht
> definiert ist. Man definiert es aber wie ich es oben getan
> habe.
>
> > [mm]= \integral_0^{2\pi}{\sin\bruch{t}{2}*(2t-2\pi)*\gamma'(t)\;dt}[/mm]
>
> Das ist doppelt gemoppelt. Du hast hier zweimal
> [mm]\gamma'(t)[/mm] mit reingenommen.
Aber warum? Es ist doch [mm] \omega=z\;dy [/mm] und [mm] \gamma(t)=(e^{\cos t},t^2-2\pi t,\sin\bruch{t}{2}), [/mm] und jetzt muss ich doch erstmal [mm] \omega(\gamma(t)) [/mm] berechnen. Ich dachte, das hätte ich gemacht? Aber anscheinend verstehe ich das doch falsch. Was bedeutet denn [mm] \omega=z\;dy? [/mm] Dass ich z nach y ableite? Oder wie??? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Ich weiß es nicht! ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]")
> Richtig lautet es gemäß obiger Formel so:
>
> [mm]\int\limits_{\gamma} z\, dy = \integral_0^{2\pi} \langle \sin \left( \frac{t}{2}\right)\, dy , \pmat{e^{\cos(t)}(-\sin(t)) \\ 2t-2\pi \\ \frac{1}{2}\cos(\bruch{t}{2})} \rangle\, dt = \integral_0^{2\pi} \sin \left( \frac{t}{2}\right) (2t-2\pi) \, dt[/mm]
>
> (beachte bitte, dass du dich auch bei der Ableitung vertan
> hattest).
Ja, stimmt - und ich hatte da noch überlegt...
Jedenfalls hab ich das jetzt mal weiter berechnet - musste dafür einmal partielle Integration anwenden. Hab' dann mein "Ergebnis" (ohne die Grenzen) mal von meinem Computer ableiten lassen - und es kam wieder das richtige raus. Demnach denke ich mal, stimmt es, und du musst es nicht unbedingt nachrechnen. Ich erhalte als Ergebnis: [mm] 8\pi.
[/mm]
> Klar?
Leider nein, aber ich versuch den Ansatz der zweiten trotzdem schonmal:
[mm] \integral_{\gamma}{(xdx+ydy+zdz)} [/mm] = [mm] \integral_0^{2\pi}{\langle e^{\cos t}dx+t^2-2\pi t dy+\sin\bruch{t}{2}dz,\pmat{e^{\cos(t)}(-\sin(t)) \\ 2t-2\pi \\ \frac{1}{2}\cos(\bruch{t}{2})} \rangle\, dt}
[/mm]
Irgendwie hatte ich zwar jetzt schon das Gefühl, dass ich das, was ich oben nicht verstanden habe, vielleicht doch richtig angewendet habe, aber was das wirklich genau bedeutet, verstehe ich immer noch nicht...
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Lieber Stefan!
> Leider bin ich zu blöd dafür...
>
Immer die Ruhe behalten!
> > Es gilt für eine Pfaffsche Form [mm]\omega[/mm] auf dem [mm]\IR^n[/mm] und
> > eine parametrisierte differenzierbare Kurve [mm]\gamma:[a,b] \to \IR^n[/mm]
> > (die genauen Voraussetzungen schenke ich mir jetzt mal...)
> >
> > [mm]\int\limits_{\gamma} \omega := \int\limits_a^b \langle \omega(\gamma(t)),\gamma'(t) \rangle\, dt[/mm],
>
> Sollten das diese Klammern sein, die man leicht mit dem
> Skalarprodukt verwechseln kann? Das hat mich auch schon
> ganz durcheinander gebracht, was der da in der Vorlesung
> erzählt hat...
>
> > mit
> >
> > [mm]\langle dx_i,e_j\rangle:= \delta_{ij}[/mm].
> Sorry - aber ich
> hab' keine Ahnung, was das bedeuten soll!
> . Was bedeutet denn [mm]dx_i?[/mm] Dass das, was davor
> steht nach [mm]x_i[/mm] abgeleitet wird? Oder das, was dahinter
> steht? Und wo kommt auf einmal ein e her?
Okay, mal ganz langsam:
Wie sieht denn eine Pfaffsche Form im [mm] $\IR^n$ [/mm] aus?
Genau so:
[mm] $\omega(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n a_i(x)dx_i$.
[/mm]
Falls dir das komisch vorkommt, schreibe es dir mal für den [mm] $\IR^3$ [/mm] hin:
[mm] $\omega(x) [/mm] = [mm] a_1(x)dx_1 [/mm] + [mm] a_2(x)dx_2 [/mm] + [mm] a_3(x)dx_3$.
[/mm]
Und im [mm] $\IR^3$ [/mm] schreibt man dafür ab und zu auch:
[mm] $\omega(x,y,z) [/mm] = [mm] a_1(x,y,z)dx [/mm] + [mm] a_2(x,y,z)dy [/mm] + [mm] a_3(x,y,z)dz$.
[/mm]
Aber da wir es allgemeiner betrachten wollen, gehen wir wieder zum [mm] $\IR^n$ [/mm] und schreiben:
[mm] $\omega(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n a_i(x)dx_i$.
[/mm]
So, jetzt die zweite Frage:
Wie sieht [mm] $\gamma'(t)$ [/mm] aus? [mm] $\gamma$ [/mm] ist eine Kurve im [mm] $\IR^n$. [/mm] Die Ableitung nach $t$ geschieht komponentenweise. Daher ist
[mm] $\gamma'(t) [/mm] = [mm] \pmat{\gamma_1'(t) \\ \gamma_2'(t) \\ \vdots \\ \gamma_n'(t)}$
[/mm]
ein Vektor im [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Wie sieht ein Vektor im [mm] $\IR^n$ [/mm] aus? Na, eben so:
$x = [mm] \pmat{x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n x_ie_i$,
[/mm]
wobei [mm] $e_i$ [/mm] (wie üblich) der $i$-te Einheitsvektor ist, also der Vektor, der an der Stelle $i$ eine $1$ und sonst überall $0$en hat.
Ist soweit alles klar?
Was wir also berechnen müssen, ist also (mit den obigen Bezeichnungen):
[mm]\int\limits_{\gamma} \omega := \int\limits_a^b \langle \omega(\gamma(t)),\gamma'(t) \rangle\, dt = \int\limits_a^b \left \langle \sum\limits_{i=1}^n a_i(\gamma(t))dx_i, \sum\limits_{j=1}^n \gamma_j'(t)e_j \right\rangle \, dt[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Nun ist $\langle \cdot, \cdot \rangle$ aber bilinear, d.h. wir können schreiben:
$\int\limits_a^b \left \langle \sum\limits_{i=1}^n a_i(\gamma(t))dx_i, \sum\limits_{j=1}^n \gamma_j'(t)e_j \right\rangle \, dt =\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \int\limits_a^b a_i(\gamma(t)) \gamma_j'(t) \langle dx_i,e_j \rangle\, dt$.
Das einzige, was wir also wissen müssen, ist:
Wie sieht
$\langle dx_i,e_j \rangle$
aus?
Und das hatte ich angegeben: Es ist gleich $1$, wenn $i=j$ und gleich $0$, wenn $i \ne j$.
Also können wir schreiben:
$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \int\limits_a^b a_i(\gamma(t)) \gamma_j'(t) \langle dx_i,e_j \rangle\, dt = \sum\limits_{i=1}^n \int\limits_a^b a_i(\gamma(t)) \gamma_i'(t)\, dt$.
Und genauso musst du immer rechnen!
Versuche es jetzt bitte einmal.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo,
> [mm]\integral_0^{2\pi}{[e^{\cos{t}}e^{\cos{t}}(-\sin{t})+(t^2-2\pi t)(2t-2\pi)+\sin{\bruch{t}{2}}\cos{\bruch{t}{2}}*\bruch{1}{2}]dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-\sin{t}\;e^{\cos^2{t}}dt}[/mm]
> Wie könnte ich das denn berechnen? Hast du vielleicht nen
> Tipp?
Das sollte doch wohl [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-\sin{t}\;e^{2 \cos{t}}dt}[/mm] heißen, oder?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 28.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> [mm]\integral_0^{2\pi}{[e^{\cos{t}}e^{\cos{t}}(-\sin{t})+(t^2-2\pi t)(2t-2\pi)+\sin{\bruch{t}{2}}\cos{\bruch{t}{2}}*\bruch{1}{2}]dt}[/mm]
>
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-\sin{t}\;e^{\cos^2{t}}dt}[/mm]
> > Wie könnte ich das denn berechnen? Hast du vielleicht
> nen
> > Tipp?
>
> Das sollte doch wohl [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-\sin{t}\;e^{2 \cos{t}}dt}[/mm]
> heißen, oder?
Ja, natürlich - habe ich sogar hier stehen!
Trotzdem weiß ich nicht, wie ich das berechnen soll...
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 28.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > Das sollte doch wohl [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-\sin{t}\;e^{2 \cos{t}}dt}[/mm]
> > heißen, oder?
Es gilt:
[mm] $\integral_0^{2\pi} {-\sin(t)\, e^{2 \cos(t)}}\, [/mm] dt = [mm] \left[ \frac{1}{2} e^{2\cos(t)} \right]_0^{2\pi} [/mm] = 0$.
Liebe Grüße
Stefan
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*freu* ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
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