Phasenebene < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 26.02.2014 | | Autor: | f1234 |
| Aufgabe | | Betrachte x``(t)=1-x²(t). Wie sieht die zugehörige Phasenebene aus? |
Hallo!
Ich versuche gerade zu verstehen, wie man die Phasenebene einer gewöhnlichen Dgl. 2. Ordnung bestimmen kann. Zum einen verstehe ich nicht ganz den Unterschied zwischen einer Phasenebene und einem Phasenportrait. Ich weiß, dass in einem Phasenportrait die Menge aller Lösungskurven einer Dgl skizziert wird. Das ist doch auch das Ziel, wenn man eine Phasenebene zeichnen möchte oder habe ich das falsch verstanden?
Wenn ich die obige Dgl betrachte, würde ich zuerst mal versuchen, die Dgl auf eine Dgl 1. Ordnung zu bringen.
Setze x'(t)=v(t) und v'(t)=1-x²(t). Dann kann man die Gleichgewichtspunkte bestimmen, welche (1,0) und (-1,0) sind.
Nun ist meine Frage, wie ich damit eine Phasenebene bestimmen kann? Muss man jetzt herausfinden, ob die Gleichgewichtspunkte stabil sind oder instabil?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. Ich verstehe leider wirklich nicht, wie ich ab diesem Punkt weitermachen soll.
Danke schonmal!
Gruß f1234
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo f1234,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachte x''(t)=1-x²(t). Wie sieht die zugehörige
> Phasenebene aus?
> Hallo!
>
> Ich versuche gerade zu verstehen, wie man die Phasenebene
> einer gewöhnlichen Dgl. 2. Ordnung bestimmen kann. Zum
> einen verstehe ich nicht ganz den Unterschied zwischen
> einer Phasenebene und einem Phasenportrait. Ich weiß, dass
> in einem Phasenportrait die Menge aller Lösungskurven
> einer Dgl skizziert wird. Das ist doch auch das Ziel, wenn
> man eine Phasenebene zeichnen möchte oder habe ich das
> falsch verstanden?
>
Das hast Du ganz richtig verstanden.
> Wenn ich die obige Dgl betrachte, würde ich zuerst mal
> versuchen, die Dgl auf eine Dgl 1. Ordnung zu bringen.
> Setze x'(t)=v(t) und v'(t)=1-x²(t). Dann kann man die
> Gleichgewichtspunkte bestimmen, welche (1,0) und (-1,0)
> sind.
> Nun ist meine Frage, wie ich damit eine Phasenebene
> bestimmen kann? Muss man jetzt herausfinden, ob die
> Gleichgewichtspunkte stabil sind oder instabil?
>
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Phasenebene
> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte. Ich verstehe leider wirklich nicht, wie ich ab
> diesem Punkt weitermachen soll.
>
> Danke schonmal!
>
> Gruß f1234
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 26.02.2014 | | Autor: | f1234 |
Hallo MathePower,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Danke für den Link, ich verstehe jedoch nicht wirklich, wie man die Phasenebene erhält.
Wird hier mit (u0,v0) der Punkt mit den Anfangswerten bezeichnet? Sind die 3 eingezeichneten Punkte Gleichgewichtspunkte? Wie kann man aber bestimmen, wie die Lösung sich an diesen Punkten verhält?
Danke!
Gruß f1234
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Hallo f1234,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort. Danke für den
> Link, ich verstehe jedoch nicht wirklich, wie man die
> Phasenebene erhält.
> Wird hier mit (u0,v0) der Punkt mit den Anfangswerten
> bezeichnet? Sind die 3 eingezeichneten Punkte
Nein.
> Gleichgewichtspunkte? Wie kann man aber bestimmen, wie die
Über das Bild kann ich nichts sagen.
> Lösung sich an diesen Punkten verhält?
>
Die DGL 1. Ordnung unter dem Bild ist eine gute Orientierung.
> Danke!
>
> Gruß f1234
Gruss
MathePower
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