Pi < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Do 20.01.2005 | | Autor: | Jule--- |
ich hab eine (bzw zwei ) Fragen:
es geht um die Annäherung von Pi von Gauß, Gauß hat dazu zwei Methoden entwickelt, die eine ist die Streifenmethode die andere die Trapezmethode, ich soll morgen dazu etwas vor der Klasse vortragen, und habe dafür von meinem Lehrer eine Programm bekommen, wo beide durch ein Bild veranschaulicht werden. Leider sind dabei keine weiteren Erklärungen, ich verstehe zwar wozu sie dienen sollen, aber wie das funktionieren soll besser gesagt warum das so ist ? - keine ahnung
Bei der Streifenmethode kann am rechts am Bild verstellen wieviele streifen in dem Bild erscheinen sollen, je mehr es sind umso genauer wird der Piwert, darunter steht die Untersumme- das soll die Fläche der Streifen im Kreis sein , und die Obersumme - das soll die Fläche der Streifen über dem Kreis sein. Bei beiden summen steht aber immer noch ein *4...?
je mehr streifen in dem kreis sind umso kleiner wird die fläche der streifen über dem kreis und umso größer wird die fläche der streifen im kreis...
Bei der Trapezmethode kann man auch rechts am Bild einstellen wieviele streifen da sein sollen, gleichzeitig sieht man wie sich die trapezsumme vergrößert und der Pi-wert immer genauer wird...
warum ist das so? und wie soll man das erklären?
(langsam bereu ichs dass ich mich freiwillig gemeldet habe das zu machen...da wusste ich allerdings noch nicht was auf mich zu kommt...ein weiteres Problem ist dass ich das bis morgen schon haben muss ! )
Ich hoffe mal mir kann irgendwer weiterhelfen
danke 
lg
Jule
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, Jule
Das ist die Näherungsweise Berechnung
der Zahl [mm] $\pi$ [/mm] durch Näherungsweise
Bernechnung der Fläche eines Kreise
mit dem Radius 1 also [mm] $r^2 \pi$
[/mm]
Die 4 steht davor, weil das Programm
wohl nur eine 4telKreisfläche zeigt
und berechnet.
In meinem Bild siehst Du den Effekt
der Halbierung der Streifenbreite:
Sowohl bei Rechteck- also auch
Trapezstreifen siehst Du, dass zur
grünen Fläche eine rote hinzukommt.
Je schmäler man die Streifen macht
um so besser füllen sie die (Viertel)Kreis-
fläche aus, um so besser nähert die
4fache Summe der Streifenflächen die
Zahl [mm] $\pi$ [/mm] an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo.
Ist natürlich schwer, ohne Bild was dazu zu sagen.
Aber aus dem, was Du gesagt hast, denke ich, kann ich mir ganz gut vorstellen, was Du meinst.
Prinzipiell gilt ja für die Fläche des Kreises: A=pi*r².
So, jetzt hast Du wahrscheinlich (zumindest wäre es so am praktischsten) einen Kreis mit Radius 1, der hat dann also logischerweise den Flächeninhalt pi. Aus dem, was Du sonst noch so geschrieben hast, schließe ich, daß man als zweite Vereinfachung nur einen Viertelkreis nimmt.
Jetzt kann man ja pi annähern, indem man versucht, die Fläche dieses Viertelkreises mit Rechtecken oder Trapezen anzunähern, denn davon können wir den Flächeninhalt einfach ausrechnen.
Wenn man aber nur nen Viertelkreis annähert, ist es logisch, daß man auch das Ergebnis mal 4 nehmen muß, um pi zu erhalten, oder?
So. Nun zu den anderen Fragen. Man kann diesen (Viertel-)kreis ja auf verschiedene Weisen durch Rechtecke annähern, wie Du schon richtig bemerkt hast, durch Ober- bzw. Untersummen.
Klar ist doch auch, daß die Fläche immer genauer wird, je mehr Rechtecke man in den Kreis einschreibt oder eben als Obersumme über den Kreis nimmt, denn der Fehler, den man dabe macht, wird ja dadurch immer geringer.
Klar ist auch: Der Wert der Obersumme ist immer zu groß, der Wert der Untersumme ist immer zu klein.
Wenn jetzt aber der Fehler immer kleiner wird, ist doch anschaulich auch klar, daß dann die Untersumme immer größer und e immer kleiner werden muß.
Ich denke, das sollte als Begründung für ein Referat in der 10. Klasse schon ausreichen. Wenn ich das richtig verstanden habe, geht es ja sowieso nur um die Methode.
Die Methode mit den Trapezen hat von vornherein den Vorteil, daß sie von Anfang an einen kleineren Fehler macht, denn Trapeze im Kreis sehen dem Kreis, anschaulich gesprochen, ja schon ähnlicher als Rechtecke.
Noch zu bemerken ist dabei, daß die Summe der Trapezflächen auch immer zu klein ist, und deswegen größer wird.
So, ich hoffe, daß ich einigermaßen helfen konnte, wenn nicht, einfach nochmal nachfragen!
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Do 20.01.2005 | | Autor: | Jule--- |
hi,
danke an euch beide
irgendwie ist das doch ziemlich logisch, viel logischer als ich gedacht hab
hätte ich nicht gedacht, dass ich das doch noch so gut verstehe *g*
lg Jule
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