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| Aufgabe | | Zeigen Sie (auch mittels einer Skizze), wie man - ausgehend von auf (0,1) uniform verteilten u - Beobachtungen einer stochastischen Größe X mit der Dichte von vorigem Beispiel simulieren kann. Welche Beobachtungen ergibt sich konkret für [mm] \phi [/mm] = 3 und u = 0,4428? |
Könnte mir vielleicht bei dieser Zusatzaufgabe einen Tipp geben? Ich hab dazu leider absolut keine Ahnung! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Fr 26.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Könnte mir vielleicht bei dieser Zusatzaufgabe einen Tipp
> geben? Ich hab dazu leider absolut keine Ahnung! Danke!
Moin,
habe die Frage hierhin verschoben, weil es sich um etwas Neues handelt.
Hat $X$ die streng monoton steigende Verteilungsfunktion $F$ und ist $U$ gleichverteilt in $(0,1)$, so besitzt die Zufallsvariable [mm] $F^{-1}(U)$ [/mm] dieselbe Verteilung wie $X$.
vg Luis
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OK, ich habe da jetzt mal ein wenig recherchiert. Dieser Satz gilt nur für die Gleichverteilung oder?
Was ich jetzt als erstes mal machen muss, ist die Verteilungfunktion zu invertieren. Deshalb muss ich mir zuerst einmal die Verteilungsfunktion bestimmen, ich habe ja die Dichte gegeben mit f(x) = [mm]\phi[/mm] * [mm](1-x)^{\phi - 1}[/mm].
Oder ist das nicht notwendig, dass ich zuerst die Verteilungfunktion bestimme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Sa 27.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
nur kurz zur Erläuterung warum [mm] F^{-1}(u) [/mm] die Verterilung F(x) besitzt.
Wenn u gleichverteilt auf (0,1) ist gilt, [mm] P(u\le{x})=x, [/mm] d.h. für [mm] F^{-1}(u) [/mm] gilt
[mm] P(F^{-1}(u)\le{x})=P(u\le{F(x)})=F(x) [/mm] nach oben, weil ja u gleichverteilt auf (0,1) ist.
Damit besitzt [mm] F^{-1}(u) [/mm] die Verteilung F(x)
mfg ullim
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Hm ich überlege jetzt schon zwei Tage und komme einfach nicht dahinter, wie ich das lösen soll. Hat vielleicht jemand einen Link zu einem ähnlichen Beispiel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 28.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
was meinst Du, das berechnen der Umkehrfunktion oder warum [mm] F^{-1}(u) [/mm] die Verteilung F(x) besitzt?
mfg ullim
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Das berechnen der Umkehrfunktion bereitet mit Schwierigkeiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 28.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
loese die Gleichung [mm] $F(x)=\int_0^x \phi [/mm] $ * $ [mm] (1-t)^{\phi - 1}\,dt=p [/mm] $ nach $x$ auf. Es gilt dann [mm] $x=F^{-1}(p)$.
[/mm]
vg Luis
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OK, danke!
[mm]F(x)=\int_0^x \phi[/mm] * [mm](1-t)^{\phi - 1}\,dt = -(1-x)^{\phi} = u[/mm]
Ich glaube bei mir heißt hier die Variable laut Angabe u und nicht p. Ist zwar nur eine Kleinigkeit, aber ich bin sonst verwirrt.
Das aufgelöst nach x ergibt dann: [mm] x = F^{-1}(u) = 1 - u^{\phi} [/mm]
Wie könnte ich das nun in einer Skizze darstellen? Ich denke mal auf der x-Achse sollte ich das x auftragen und auf der y-Achse das u oder?
Und was sagt mir das jetzt, wenn ich für [mm] \phi [/mm] = 3 und u = 0.4428 einsetze? Da bekomme ich dann x = 1 - [mm] 0.4428^3 [/mm] = 0.913 heraus, aber welche Beobachtung soll das sein? Gibt es da irgendwelche Zusammenhänge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 01.03.2010 | | Autor: | luis52 |
> OK, danke!
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> [mm]F(x)=\int_0^x \phi[/mm] * [mm](1-t)^{\phi - 1}\,dt = -(1-x)^{\phi} = u[/mm]
>
Das kann nicht stimmen (negative Wsk!). *Ich* erhalte $F(x)=1 [mm] -(1-x)^{\phi}$ [/mm] fuer $0<x<1$...
>
>
> Wie könnte ich das nun in einer Skizze darstellen? Ich
> denke mal auf der x-Achse sollte ich das x auftragen und
> auf der y-Achse das u oder?
Genau. Und dann zeichnest du $F$.
>
> Und was sagt mir das jetzt, wenn ich für [mm]\phi[/mm] = 3 und u =
> 0.4428 einsetze?
Setze bei deiner Skizze [mm] $\phi=3$, [/mm] markiere $u=0.4428$ auf der y-Achse und suche das zugehoerige (korrigierte) $x_$ auf der x-Achse.
vg Luis
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> > OK, danke!
> >
> > [mm]F(x)=\int_0^x \phi[/mm] * [mm](1-t)^{\phi - 1}\,dt = -(1-x)^{\phi} = u[/mm]
> >
>
> Das kann nicht stimmen (negative Wsk!). *Ich* erhalte
> [mm]F(x)=1 -(1-x)^{\phi}[/mm] fuer [mm]0
>
Ich verstehe nicht, wie du da auf [mm]F(x)=1 -(1-x)^{\phi}[/mm] kommst, wenn man [mm]F(x)=\int_0^x \phi[/mm] * [mm][mm] (1-t)^{\phi - 1}\,dt [/mm] integriert. Meine Integrator ergibt ja abgeleitet auch wieder die ursprüngliche Funktion? Ich bin jetzt auch schon etwas verwirrt, muss das jetzt ein (1-t) im Integral sein, oder eher ein (1-x) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Di 02.03.2010 | | Autor: | luis52 |
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> Ich verstehe nicht, wie du da auf [mm]F(x)=1 -(1-x)^{\phi}[/mm]
> kommst, wenn man [mm]F(x)=\int_0^x \phi[/mm] * [mm][mm](1-t)^{\phi - 1}\,dt[/mm] integriert. Meine Integrator ergibt ja abgeleitet auch wieder die ursprüngliche Funktion? Ich bin jetzt auch schon etwas verwirrt, muss das jetzt ein (1-t) im Integral sein, oder eher ein (1-x) ?
Hm, zu meiner Zeit berechnete man solche Integrale wie folgt:
$ [mm] F(x)=\int_0^x \phi [/mm] $ * $ [mm] (1-t)^{\phi - 1}\,dt =\left[-(1-t)^{\phi}\right]_0^x=1-(1-x)^{\phi} [/mm] $.
vg Luis
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Dankeschön. Und dieses F(x) ist die Lösung zu diesem Beispiel?
Jetzt verstehe ich die Integration.
Angenommen f(x) wäre nun f(x) = [mm] 3*x^2 [/mm] :
[mm] F(x)=\int_0^x 3*u^2 [/mm] du = [mm] \left[3* \bruch{u^3}{3} \right]_0^x [/mm] = [mm] x^3
[/mm]
Dann zeichne ich ein Diagramm mit u = y-Achse und x = x-Achso und zeichne die Funktion [mm] x^3 [/mm] rein? Und das wars?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 02.03.2010 | | Autor: | luis52 |
> Dann zeichne ich ein Diagramm mit u = y-Achse und x =
> x-Achso und zeichne die Funktion [mm]x^3[/mm] rein? Und das wars?
Kann dir leider nicht folgen. Fuer [mm] $\phi=3$ [/mm] lautet die Dichte [mm] $f(x)=3(1-x)^2$, [/mm] und die Verteilungsfunktion ist [mm] $F(x)=1-(1-x)^3$ [/mm] fuer $0<x<1$.
Zeichne also [mm] $F(x)=1-(1-x)^3$ [/mm] in $(0,1)$, markiere $ u=0.4428 $ auf der y-Achse und suche das zugehoerige $x$ auf der x-Achse.
*Das* war's.
vg Luis
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Was willst du damit sagen? Schraenkt das die Anwendung auf deine Fragestellung ein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
