Poisson-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 08.06.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Sei [mm] P(\lambda) [/mm] die Poisson-Verteilung zum Parameter [mm] $\lambda [/mm] > 0$, und sei X eine [mm] $P(\lambda)$-verteilte [/mm] Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion [mm] $F_{X}$ [/mm] von X im Intervall $[n,n+1)$, $n [mm] \in \IZ$, [/mm] gegeben ist durch
[mm] $$F_X(x) [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n!}*\integral_{0}^{\lambda}{t^n*e^{-t}dt} [/mm] $$ |
Hallo Leute,
bei dieser Aufgabe hatte ich folgende Idee: Ich habe das Integral partiell integriert:
[mm] $$1-\bruch{1}{n!}*\integral_{0}^{\lambda}{t^n*e^{-t}dt}$$
[/mm]
$$= [mm] 1-\bruch{1}{n!}([t^n(-e^{-t})]_{0}^\lambda+n*\integral_{0}^{\lambda}{t^{n-1}*e^{-t}dt})$$
[/mm]
Das habe ich nun n-mal wiederholt, sodass ich als Endergebnis bekomme:
[mm] 1+e^{-\lambda}\summe_{i=0}^{n}{\bruch{1}{i!}\lambda^i}
[/mm]
Meine Fragen:
1. Kann man meinen Lösungsweg nachvollziehen, oder soll ich ihn noch ausführlicher darstellen?
2. Habe ich die richtige Idee (partielle Integration)?
3. Wenn nein, wie geht es dann :) ?
4. Wenn ja, habe ich richtig gerechnet und was sagt mir mein Ergebnis?
(Ich muss nämlich gestehen, dass ich diese Sache mit der Verteilungsfunktion auch noch nicht richtig verstehe... )
5. Ich habe sehr wohl erkannt, dass [mm] $\summe_{i=0}^{n}{\bruch{1}{i!}\lambda^i}$ [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] den Grenzwert für [mm] e^\lambda [/mm] beschreibt ... muss ich das auch noch ausnutzen?
LG, cauchy
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Mo 09.06.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin cauchy,
dein Ergebnis *kann* nicht korrekt sein,
denn $ [mm] 1+e^{-\lambda}\summe_{i=0}^{n}{\bruch{1}{i!}\lambda^i} [/mm] >1$!
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mo 09.06.2008 | | Autor: | cauchy |
> Moin cauchy,
>
> dein Ergebnis *kann* nicht korrekt sein,
> denn
> [mm]1+e^{-\lambda}\summe_{i=0}^{n}{\bruch{1}{i!}\lambda^i} >1[/mm]!
>
> vg Luis
Okay... aber wie geh ich die Aufgabe denn dann an? Irgendwelche Tipps?
LG, cauchy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 09.06.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> Okay... aber wie geh ich die Aufgabe denn dann an?
> Irgendwelche Tipps?
Hallo Cauchy,
bevor ich hier weiter denke, musst du erst einmal ein paar Unklarheiten
in der Aufgabenstellung beseitigen. Denn hier ist offensichtlich der Wurm drin:
Die Wahl $ n [mm] \in \IZ [/mm] $ macht keinen Sinn. Zwar mag das Integral
[mm] $\integral_{0}^{\lambda}{t^n\cdot{}e^{-t}dt}$
[/mm]
beispielsweise fuer $n=-1$ existieren, aber wie ist $(-1)!$ definiert?
Ich vermute, dass [mm] $n=0,1,2,3,\dots$ [/mm] gemeint ist.
Schauen wir uns einmal den Fall n=0 an. Dann ist [mm] $F_X(0)=P(X\le 0)=P(X=0)=$\lambda^0\exp[-\lambda]/0!=\exp[-\lambda]$.
[/mm]
Andererseits ist dann
$ [mm] 1-\bruch{1}{0!}\cdot{}\integral_{0}^{\lambda}{e^{-t}dt}=1-[-e^{-t}]_0^\lambda=1+e^{-t}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mo 09.06.2008 | | Autor: | cauchy |
> Schauen wir uns einmal den Fall n=0 an. Dann ist
> [mm]$F_X(0)=P(X\le 0)=P(X=0)=$\lambda^0\exp[-\lambda]/0!=\exp[-\lambda]$.[/mm]
>
> Andererseits ist dann
>
> [mm] $$1-\bruch{1}{0!}\cdot{}\integral_{0}^{\lambda}{e^{-t}dt}=1-[-e^{-t}]_0^\lambda=1+e^{-t}$$.
[/mm]
>
>
Hallo Luis, hast du dich da nicht verrechnet??
Ok, es ist
[mm] $$F_X(0)=P(X\le 0)=P(X=0)=$\lambda^0\exp[-\lambda]/0!=\exp[-\lambda]$$.
[/mm]
Aber [mm] $$1-\bruch{1}{0!}\cdot{}\integral_{0}^{\lambda}{e^{-t}dt}=1-[-e^{-t}]_0^\lambda=1+e^{-t}$$ [/mm] stimmt doch nicht, oder?
Ich würde rechnen:
[mm] $$1-\bruch{1}{0!}\cdot{}\integral_{0}^{\lambda}{e^{-t}dt}=1-[-e^{-t}]_0^\lambda=1-(-e^{-\lambda}-(-e^{-0}))=1+e^{-\lambda}-1=e^{-\lambda}$$
[/mm]
Also kommt in beiden Fällen das gleiche raus, was gut ist, oder :) ?
Ok, für n=0 ist klar, wie mache ich jetzt weiter? Soll ich das für n=1,2 usw ausprobieren und macht man dann eine Induktion oder so? :)
LG, cauchy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Di 10.06.2008 | | Autor: | cauchy |
Super danke! Ich habe das per Induktion bewiesen und das sieht auch ziemlich richtig aus *freu*
ABER: Eine Sache ist mir unklar...
Ich beweise ja, dass
$$ [mm] \underbrace{\summe_{i=0}^{n}{P(X=i)}}_{=P(X\le n)} [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n!} \integral_{0}^{\lambda}{t^n*e^{-t}dt}$$ [/mm] ist.
In der Aufgabenstellung steht ja was von "$X$ im Intervall $[n,n+1)$".
Was heißt das?
VG, cauchy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 10.06.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo cauchy,
> Super danke! Ich habe das per Induktion bewiesen und das
> sieht auch ziemlich richtig aus *freu*
>
Prima.
> ABER: Eine Sache ist mir unklar...
>
> Ich beweise ja, dass
>
> [mm]\underbrace{\summe_{i=0}^{n}{P(X=i)}}_{=P(X\le n)} = 1-\bruch{1}{n!} \integral_{0}^{\lambda}{t^n*e^{-t}dt}[/mm]
> ist.
>
> In der Aufgabenstellung steht ja was von "[mm]X[/mm] im Intervall
> [mm][n,n+1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
".
> Was heißt das?
>
Du musst beweisen, dass die Formel fuer alle $x\in[n,n+1) $ gilt. Dort ist aber
$F(x)=P(X\le x)= \summe_{i=0}^{n}{P(X=i)=P(X\le n)$
Und das hast du nachgewiesen.
(Habe deinen letzten Eintrag geringfuegig korrigiert)
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Di 10.06.2008 | | Autor: | cauchy |
Vielen vielen Dank!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Di 10.06.2008 | | Autor: | luis52 |
> Vielen vielen Dank!!
Gerne.
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
. Aber ich wollte nur mal sehen, ob du aufpasst... 
