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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 24.02.2014 | | Autor: | casio90 |
| Aufgabe | X bzw. Y seien stochastisch unabhängige, zu den Parametern [mm] \lambda [/mm] > 0 bzw. [mm] 2\lambda [/mm] Poission-verteilte Zufallsvariablen. Sei Z = X + Y.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P[Z = 0].
b) Berechnen Sie die Kovarianz von X und Z. |
Wie berechne ich a) und b)? Ich wüsste es, wenn irgendwelche Zahlen gegeben wären, aber so komplett abstrakt? Ich verstehe nicht, was mit [mm] \lambda [/mm] > 0 bzw. [mm] 2\lambda [/mm] gemeint ist. Und müssten es eigentlich unterschiedliche [mm] \lambda's [/mm] sein?
Mein Ansatz für die a) ist:
P[Z = 0] = [mm] \summe_{0 = X + Y}^{\infty} [/mm] P[X=x] * P [Y = y] = [mm] \summe_{0 = X + Y}^{\infty} e^{-\lambda} [/mm] * [mm] \bruch{\lambda^x}{x!} [/mm] * [mm] e^{-2\lambda} [/mm] * [mm] \bruch{2\lambda^y}{y!} [/mm]
Allerdings sieht mir das doch sehr komisch aus, und ich weiss nicht, wie es ab jetzt weiter gehen könnte. Ich denke, dass ich da sehr auf dem Holzweg bin.
Zur b) habe ich leider keinen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Ich verstehe nicht, was mit [mm]\lambda[/mm] > 0 bzw. [mm]2\lambda[/mm] gemeint ist.
Na X ist eben [mm] Poisson($\lambda$)-verteilt [/mm] und Y [mm] Poisson($2\lambda$)-verteilt.
[/mm]
Wie sieht also die Verteilung von X und Y aus?
> Und müssten es eigentlich unterschiedliche [mm]\lambda's[/mm] sein?
Nö, warum?
> Ich denke, dass ich da sehr auf dem Holzweg bin.
Ja!
$P[Z=0] = P[X+Y = 0]$
Welche Möglichkeiten gibt es denn nun für X und Y, damit X+Y=0 gilt?
> Zur b) habe ich leider keinen Ansatz.
Erstmal: Wie ist denn die Kovarianz definiert?
Dann: Definition von Z und Linearität des Erwartungswert nutzen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 26.02.2014 | | Autor: | casio90 |
Neuer Ansatz zur a):
Da Z = X + Y und X und Z unabhaengig und somit das Additionsgesetz hier gilt, muss wohl P[Z = 0] = [mm] e^{-3\lambda} [/mm] * [mm] \bruch{(3\lambda)^ 0}{0!} [/mm] = [mm] e^{-3\lambda}.
[/mm]
Kann das sein? Ansonsten, entweder muessen X = Y = 0 sein oder aber X = -Y. Ob das letzte ausgeschlossen ist, bin ich mir nicht sicher.
Zur b)
Ich habe gesucht, aber nichts gefunden. Vielleicht ist es zu trivial. Wenn zwei unabhaengige Zufallsvariablen addiert werden, also hier Z = X + Y, sind dann X und Z abhaengig oder unabhaengig von einander? Wenn Sie unabhaengig sind, dann waere das Ergebnis laut Script Cov[X, Z] = 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mi 26.02.2014 | | Autor: | luis52 |
> Neuer Ansatz zur a):
> Da Z = X + Y und X und Z unabhaengig und somit das
> Additionsgesetz hier gilt, muss wohl P[Z = 0] =
> [mm]e^{-3\lambda}[/mm] * [mm]\bruch{(3\lambda)^ 0}{0!}[/mm] = [mm]e^{-3\lambda}.[/mm]
>
> Kann das sein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ansonsten, entweder muessen X = Y = 0 sein
Und $P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)$.
> oder aber X = -Y. Ob das letzte ausgeschlossen ist, bin ich
> mir nicht sicher.
Ausgeschlossen nicht, aber $X=x>0$ impliziert $P(-Y=-x)=0$
>
> Zur b)
> Ich habe gesucht, aber nichts gefunden. Vielleicht ist es
> zu trivial. Wenn zwei unabhaengige Zufallsvariablen addiert
> werden, also hier Z = X + Y, sind dann X und Z abhaengig
> oder unabhaengig von einander?
>Wenn Sie unabhaengig sind,
> dann waere das Ergebnis laut Script Cov[X, Z] = 0.
>
Wo ist das Problem? Nutze die alte Bauernregel [mm] $\operatorname{Cov}[X,X+Y]=\operatorname{Cov}[X,X]+\operatorname{Cov}[X,Y]$.
[/mm]
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