Poisson Erwartungswert < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | Aufgabe : Die Anzahl der PKW, die im Verlauf einer Stunde an einem Autobahnrestaurant halten, sei annähernd Poisson-verteilt zum Parameter [mm] \lambda [/mm] > 0. Es sei bekannt,
dass 40% der PKW mit einer,
30% mit zwei,
20% mit drei,
9% mit vier und
1% mit fünf Personen besetzt sind. Es sei vorausgesetzt, dass die Anzahl der Personen in den einzelnen PKW unabhängig voneinander
sowie unabhängig von der Anzahl der haltenden Autos ist.
a) Wie groß ist der Erwartungswert und die Varianz der Anzahl der Personen, die in einer
Stunde das Restaurant aufsuchen?
b) Sei [mm] \lambda [/mm] = 10. Geben Sie konkret die Wahrscheinlichkeit an, dass 2 Personen das Restaurantbesuchen.
Anleitung: Man stelle die Anzahl der Personen als randomisierte Summe dar und verwende erzeugende Funktionen. |
Hallo,
haben mal wieder Probleme den einsieg zu finden.
Poissonverteilung = [mm] \bruch{\lambda ^k}{k!}*e^{-\lambda }
[/mm]
und unter einer randomisierten Summe verstehe ich sowas ("random" meint wohl zufällig).
[mm] \summe_{k=1}^{n} X_k
[/mm]
Kann mir den Rest aber anscheinend nicht zusammenreimen.
Hoffe auf eure Unterstützung :).
schönen Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Di 02.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Kann mir den niemend helfen?
KAnn ich einfach
E(X)= 1*0,4 + 2*0,3 + 3*0,2 + ....
rechnen?
b) würde ich so echnen aber das Ergebnis ist zu klein.
P(X=2)= [mm] e^{-10}*\bruch{10^2}{2!}= [/mm] 0,00227
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Di 02.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 02.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Nataliee,
gesucht ist [mm] \operatorname{E}[N] [/mm] und [mm] \operatorname{Var}[N] [/mm] fuer
N=Anzahl der Personen, die das Restaurant aufsuchen.
Wir koennen schreiben: [mm] N=\sum_{i=1}^5iN_i, [/mm] wobei [mm] N_i [/mm] die Anzahl der Autos
mit i Insassen ist.
Meine Strategie ist wie folgt: Ich bestimme die Verteilung von [mm] N_i, [/mm] leite
dessen Erwartungswert und Varianz ab und erhalte die entsprechenden
Groessen von N, weil [mm] N_1,...,N_5 [/mm] unabhaengig ist.
Sei [mm] p_i, [/mm] die Wsk dafuer, dass ein Wagen i Insassen hat. Ferner sei X
die Anzahl der in einer Stunde eintreffenden Wagen. Fuer [mm] k=0,1,2,\dots
[/mm]
ist dann
[mm] \begin{matrix}
P(N_i=k)&=&\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) \\
&=&\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid X=x)P(X=x)\\
&=&\ldots
\end{matrix}
[/mm]
Beachte, dass [mm] x\ge [/mm] k sein muss. Jetzt du...
(Ich meine, dass [mm] N_i [/mm] Poissonverteilt ist mit Parameter [mm] \lambda p_i)
[/mm]
vg Luis
PS: Du solltest keine Aufgaben posten mit so engen Zeitrestriktionen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hallo luis,
$ [mm] \begin{matrix} P(N_i=k)&=&\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) \\ &=&\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid X=x)P(X=x)\\ =&\dbinom{z_1+z_2}{z_1}*p^z^{_1}*(1-p)^z^{_2} * \bruch{\lambda^{z_1+z_2}}{(z_1+z_2)!}\exp[-\lambda]\\ &\end{matrix} [/mm] $
Also ich weiß ja nun das es in diese Richtung geht aber mir ist nicht klar was ich bei den z's einsetzen soll.
> PS: Du solltest keine Aufgaben posten mit so engen
> Zeitrestriktionen.
Werde es nächstes mal beachten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mi 03.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Nataliee,
> [mm]\begin{matrix} P(N_i=k)&=&\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) \\ &=&\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid X=x)P(X=x)\\ =&\dbinom{z_1+z_2}{z_1}*p^z^{_1}*(1-p)^z^{_2} * \bruch{\lambda^{z_1+z_2}}{(z_1+z_2)!}\exp[-\lambda]\\ &\end{matrix}[/mm]
Verstehe ich nicht. Weder bei dir noch bei mir wurde mit keinem [mm] z_1
[/mm]
noch [mm] z_2 [/mm] nicht gearbeitet ...
1) [mm] P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda]
[/mm]
2) [mm] $(N_i=k\mid [/mm] X=x)$ bedeutet, unter x Autos k zu beobachten, die
insgesamt i=1,2,3,4,5 Insassen haben. Also:
[mm] P(N_i=k\mid X=x)=\binom{x}{k}p_i^k(1-p_i)^{x-k}
[/mm]
vg Luis
>
> > PS: Du solltest keine Aufgaben posten mit so engen
> > Zeitrestriktionen.
> Werde es nächstes mal beachten.
Brav 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
> Verstehe ich nicht. Weder bei dir noch bei mir wurde mit
> keinem [mm]z_1[/mm]
> noch [mm]z_2[/mm] nicht gearbeitet ...
Habe das z genommen um mein Problem allgemein zu beschreiben.
Verstehe den restlichen Teil deines postings.
[mm] P(N_i=k)=\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) =\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid [/mm] X=x)P(X=x)
[mm] =\dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} [/mm] * [mm] \bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{k!(x-k)!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \lambda^x \exp[-\lambda]
[/mm]
Jetzt gehts zum Erwartungswert.
Spontan würde ich
Summe der Anzahl mit i Insassen ,mit i=1,2,3,4,5, durch
5 nehmen.
d.h. [mm] E(X)=\summe_{i=1}^{5} \bruch{i * P(N_i=k)}{5} [/mm]
aber das ist hier wohl nicht angebracht.
Oder so?
[mm] =\dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda]
[/mm]
=>
[mm] E(X)=\summe_{i=1}^{5}\dbinom{x}{k} p_i^k\ (1-p_i)^{x-k}*\summe_{i=1}^{5} \bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda]
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{5}\dbinom{x}{k} p_i^k\ (1-p_i)^{x-k}*\exp[-\lambda]\summe_{i=1}^{5} \bruch{\lambda^x}{x!}
[/mm]
Komme leider nicht weiter.
schönen Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 03.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Jetzt gehts zum Erwartungswert.
> Spontan würde ich
> Summe der Anzahl mit i Insassen ,mit i=1,2,3,4,5, durch
> 5 nehmen.
> d.h. [mm]E(X)=\summe_{i=1}^{5} \bruch{i * P(N_i=k)}{5}[/mm]
> aber das ist hier wohl nicht angebrach
Berechne den Erwartungswerte so:
[mm] $\operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i] =\dots$
[/mm]
Und du weisst wie [mm] N_i [/mm] verteilt ist ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Do 04.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Morgn luis,
> Berechne den Erwartungswerte so:
>
> [mm]\operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i] =\dots[/mm]
>
> Und du weisst wie [mm]N_i[/mm] verteilt ist ...
Die einzelnen [mm] N_i [/mm] sind Binomialverteilt.
Z.z. Wie groß ist der Erwartungswert und die Varianz der Anzahl der Personen, die in einer Stunde das Restaurant aufsuchen?
[mm] N_i [/mm] ist die Anzahl er Autos mit i Insassen. Also muß man noch X mutiplizieren (Anzahl der in einer Stunde eintreffenden Autos). X ist Poissonverteilt.Demnach
E(N) [mm] =\summe_{i=1}^{5}i\dbinom{x}{k} p_i^k\ (1-p_i)^{x-k}\cdot{}\exp[-\lambda]\summe_{x=1}^{5} x\bruch{\lambda^x}{x!} [/mm] ,da [mm] p_0=0, [/mm] und der poisson Teil für x=0 0 ist.
[mm] =\summe_{i=0}^{5}i\dbinom{x}{k} p_i^k\ (1-p_i)^{x-k}\cdot{}\exp[-\lambda]\summe_{x=0}^{5} x\bruch{\lambda^x}{x!} [/mm]
[mm] =x*p_i [/mm] * [mm] \lambda [/mm] , somit Poissonverteilt mit [mm] \lambda p_i
[/mm]
Die Summen sind nach Wikipedia berechnet( Poisson-Binomialverteilung).
Kann die Grafiken der Rechnungen gerne noch hier einfügen falls nötig.
Zufrieden mit dem Ergebnis?
Um nun die Varianz zu berechnen gibt es das Verschiebunggesetz.
[mm] V(N)=E(N^2)-(E(N))^2 [/mm] aber wie ich das hier einsetzen soll ist mir nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 04.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Morgn luis,
>
> > Berechne den Erwartungswerte so:
> >
> >
> [mm]\operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i] =\dots[/mm]
>
> >
> > Und du weisst wie [mm]N_i[/mm] verteilt ist ...
> Die einzelnen [mm]N_i[/mm] sind Binomialverteilt.
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Deine Rechnung
$ [mm] P(N_i=k)=\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) =\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid [/mm] $ X=x)P(X=x)
$ [mm] =\dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda] [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{k!(x-k)!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \lambda^x \exp[-\lambda] [/mm] $
ist nicht korrekt. Wo hast du die Summe gelassen?
$ [mm] P(N_i=k)=\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) =\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid [/mm] $ X=x)P(X=x)
$ [mm] =\sum_{x=k}^\infty \dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda] [/mm] $
$ [mm] =\sum_{x=k}^\infty \bruch{1}{k!(x-k)!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \lambda^x \exp[-\lambda] [/mm] $
[mm] =\dots
[/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Do 04.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hi, wollte es analog machen zu
> ![[]](/images/popup.gif) https://matheraum.de/read?i=476567
Das ist ein ganz anderer Fall.
>
> aber scheinbar darf man es hier nicht.
Nein, darf man nicht. Aber rechne doch mal die Summe aus.
Ist nicht schwer ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 04.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
> Nein, darf man nicht. Aber rechne doch mal die Summe aus.
> Ist nicht schwer ...
:) Beruihgend das dies auf einen von uns zutrifft :)
Das heißt das das für mich auch irgenwann der Fall sein könnte :)
$ [mm] P(N_i=k)=\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) =\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid [/mm] $ X=x)P(X=x)
Eine frage wieso geht die Summe eigentlich bis [mm] \infty?
[/mm]
Weil [mm] \infty [/mm] viele Autos eintreffen können? Kann man [mm] \infty [/mm] mit n ersetzen?
$ [mm] =\sum_{x=k}^\infty \dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda] [/mm] $
Bis hierhin erkenne ich die Summen noch,der Index stimmt aber leider nicht um das auszunutzen. Ohh ich merk gerade k=0,1,2,3,4,....
Da bleibt wohl die Frage ob man [mm] \infty [/mm] durch n ersetzen darf. ;)
Den dann könnte man ja die bekannten Summen ausnutzen.
schönen Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Do 04.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> > Nein, darf man nicht. Aber rechne doch mal die Summe aus.
> > Ist nicht schwer ...
> :) Beruihgend das dies auf einen von uns zutrifft :)
> Das heißt das das für mich auch irgenwann der Fall sein
> könnte :)
Bestimmt, wenn du weiterhin Biss zeigst.
>
> [mm]P(N_i=k)=\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) =\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid[/mm]
> X=x)P(X=x)
> Eine frage wieso geht die Summe eigentlich bis [mm]\infty?[/mm]
> Weil [mm]\infty[/mm] viele Autos eintreffen können? Kann man [mm]\infty[/mm]
> mit n ersetzen?
> [mm]=\sum_{x=k}^\infty \dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k}[/mm]
> * [mm]\bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda][/mm]
> Bis hierhin erkenne ich die Summen noch,der Index stimmt
> aber leider nicht um das auszunutzen. Ohh ich merk gerade
> k=0,1,2,3,4,....
> Da bleibt wohl die Frage ob man [mm]\infty[/mm] durch n ersetzen
> darf. ;)
Leider nein. Ist auch nicht noetig.
> Den dann könnte man ja die bekannten Summen ausnutzen.
>
Wenn du die Summen etwas vereinfachst (Faktoren vor die
Summe ziehst) gelangst du zu einer bekannten Summe.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
$ [mm] P(N_i=k)=\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) =\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid [/mm] $ X=x)P(X=x)
$ [mm] =\sum_{x=k}^\infty \dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda] [/mm] $
$ [mm] =\sum_{x=k}^\infty \bruch{1}{k!(x-k)!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \lambda^x \exp[-\lambda] [/mm] $
$ [mm] =\dots [/mm] $
OK x ist meine laufvariable demnach kann ich alle anderen Teile vor der Summe ziehen
[mm] =\sum_{x=k}^\infty \bruch{1}{k!(x-k)!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \lambda^x \exp[-\lambda] [/mm] $
[mm] =\bruch{1}{k!}*p_i^k*(1-p_i)^{-k}*\exp[-\lambda] \sum_{x=k}^\infty \bruch{(1-p_i)^{x}}{(x-k)!}* [/mm] * [mm] \lambda^x
[/mm]
Die Fakultät kann ich auch noch aufspalten
[mm] =\bruch{1}{k!}*p_i^k*(1-p_i)^{-k}*\exp[-\lambda] \bruch{1}{k_i!*(k_{i-1}!)*(k_{i-2}-2)!....}\sum_{x=k}^\infty \bruch{(1-p_i)^{x}}{x!} [/mm] * [mm] \lambda^x [/mm] , mit i=k und i=0,1,2,....,k
Jetzt kann ich die Summen aufspalten (übersichtshalber)
[mm] =\bruch{1}{k!}*p_i^k*(1-p_i)^{-k}* \bruch{1}{k_i!*(k_{i-1}!)*(k_{i-2}-2)!....}\sum_{x=k}^\infty (1-p_i)^{x}*\exp[-\lambda]\sum_{x=k}^\infty \bruch{ \lambda^x }{x!} [/mm] , mit i=k und i=0,1,2,....,k
Jetzt stört mich wieder [mm] \infty [/mm] :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Fr 05.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> [mm]P(N_i=k)=\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) =\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid[/mm]
> X=x)P(X=x)
> [mm]=\sum_{x=k}^\infty \dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k}[/mm]
> * [mm]\bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda][/mm]
> [mm]=\sum_{x=k}^\infty \bruch{1}{k!(x-k)!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \lambda^x \exp[-\lambda][/mm]
>
> [mm]=\dots[/mm]
>
> OK x ist meine laufvariable demnach kann ich alle anderen
> Teile vor der Summe ziehen
> [mm]=\sum_{x=k}^\infty \bruch{1}{k!(x-k)!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \lambda^x \exp[-\lambda][/mm]
> $
> $ [mm] =\bruch{1}{k!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{-k}\cdot{}\exp[-\lambda] \sum_{x=k}^\infty \bruch{(1-p_i)^{x}}{(x-k)!}\cdot{} [/mm] $ * $ [mm] \lambda^x [/mm] $
Unguenstig. Besser:
[mm] $=\bruch{1}{k!}*p_i^k\exp[-\lambda]\lambda^k \sum_{x=k}^\infty \frac{((1-p_i)\lambda)^{x-k}}{(x-k)!}$
[/mm]
Klingelt's?
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
> [mm]=\bruch{1}{k!}*p_i^k\exp[-\lambda]\lambda^k \sum_{x=k}^\infty \frac{((1-p_i)\lambda)^{x-k}}{(x-k)!}[/mm]
>
> Klingelt's?
Das war wohl geschickter und es klingelt sogar!
Ja aber das gilt dann wohl nur für k=0 oder?,
[mm] =\bruch{1}{k!}*p_i^ke^{-\lambda}\lambda^k e^{\lambda(1-p_i)}
[/mm]
[mm] =\bruch{p_i^k*\lambda^k}{k!}*e^{-p_i\lambda}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Fr 05.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> > [mm]=\bruch{1}{k!}*p_i^k\exp[-\lambda]\lambda^k \sum_{x=k}^\infty \frac{((1-p_i)\lambda)^{x-k}}{(x-k)!}[/mm]
>
> >
> > Klingelt's?
> Das war wohl geschickter und es klingelt sogar!
> Ja aber das gilt dann wohl nur für k=0 oder?,
Wieso denn das? Es wurde oben vorausgesetzt: $ [mm] k=0,1,2,\dots [/mm] $
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Zusammenfassung:
$ [mm] P(N_i=k)=\sum_{x=0}^\infty P(N_i=k,X=x) =\sum_{x=k}^\infty P(N_i=k\mid [/mm] $ X=x)P(X=x)
$ [mm] =\sum_{x=k}^\infty \dbinom{x}{k}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda] [/mm] $
$ [mm] =\sum_{x=k}^\infty \bruch{1}{k!(x-k)!}\cdot{}p_i^k\cdot{}(1-p_i)^{x-k} \cdot{} \lambda^x \exp[-\lambda] [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{k!}\cdot{}p_i^k\exp[-\lambda]\lambda^k \sum_{x=k}^\infty \frac{((1-p_i)\lambda)^{x-k}}{(x-k)!} [/mm] $
[mm] =\bruch{1}{k!}\cdot{}p_i^ke^{-\lambda}\lambda^k e^{\lambda(1-p_i)} [/mm]
$ [mm] =\bruch{p_i^k\cdot{}\lambda^k}{k!}\cdot{}e^{-p_i\lambda} [/mm] $
Kenne die Summe nun mal nur mit [mm] \sum_{x=0}^\infty [/mm] ,war mir nicht sicher.
Um jetzt den Erwartungswert und dann die Varianz zu berechnen
[mm] >\operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i] [/mm]
= ?
Kann ich so rechnen?
[mm] \operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]
[/mm]
[mm] =\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i] [/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^5 x_ip_i [/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^5 x_iP(X=x_i)
[/mm]
=1*0,4+2*0,3+3*0,2+4*0.09+5*0,01
=2.01
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Fr 05.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Um jetzt den Erwartungswert und dann die Varianz zu
> berechnen
> [mm]>\operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i][/mm]
> = ?
> Kann ich so rechnen?
> [mm]\operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i][/mm]
> [mm]=\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i][/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^5 x_ip_i[/mm]
[mm] N_i [/mm] ist Poisson-verteilt. Also muss du den Erwartungswert der
Poissonverteilung einsetzen.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
"Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte x1, x2, ... mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ... annimmt."
Verständnishalber, hätte ich diese Summe $ [mm] \sum_{i=1}^5 x_ip_i [/mm] $
genommen falls die Poissonverteilung in der Aufgabenstelung nicht erwähnt wird?
Zurück zu dieser Aufgabe:
> [mm]N_i[/mm] ist Poisson-verteilt. Also muss du den Erwartungswert
> der
> Poissonverteilung einsetzen.
[mm] \operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i]> [/mm]
Wir hatten
[mm] P(N_i=k) =\bruch{p_i^k\cdot{}\lambda^k}{k!}\cdot{}e^{-p_i\lambda} [/mm]
berechnet, das muß mir ja hier von nutzen sein.
[mm] {E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i{E}[N_i]
[/mm]
[mm] =\sum_{i=1}^5i\bruch{p_i^k\cdot{}\lambda^k}{k!}\cdot{}e^{-p_i\lambda}
[/mm]
Verstehe ich das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Sa 06.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> "Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte x1, x2,
> ... mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ...
> annimmt."
> Verständnishalber, hätte ich diese Summe [mm]\sum_{i=1}^5 x_ip_i[/mm]
>
> genommen falls die Poissonverteilung in der Aufgabenstelung
> nicht erwähnt wird?
>
> Zurück zu dieser Aufgabe:
> > [mm]N_i[/mm] ist Poisson-verteilt. Also muss du den
> Erwartungswert
> > der
> > Poissonverteilung einsetzen.
>
> [mm]\operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i\operatorname{E}[N_i]>[/mm]
>
> Wir hatten
> [mm]P(N_i=k) =\bruch{p_i^k\cdot{}\lambda^k}{k!}\cdot{}e^{-p_i\lambda}[/mm]
> berechnet, das muß mir ja hier von nutzen sein.
>
> [mm]{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i{E}[N_i][/mm]
>
> [mm]=\sum_{i=1}^5i\bruch{p_i^k\cdot{}\lambda^k}{k!}\cdot{}e^{-p_i\lambda}[/mm]
> Verstehe ich das richtig?
Leider nein: [mm] \operatorname{E}[N_i]=p_i\lambda=\operatorname{Var}[N_i].
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Also demnach verstehe ich das so.
Man berechnet
$ [mm] P(N_i=k) =\bruch{p_i^k\cdot{}\lambda^k}{k!}\cdot{}e^{-p_i\lambda} [/mm] $
und schließt daraus
$ [mm] \operatorname{E}[N_i]=p_i\lambda=\operatorname{Var}[N_i]. [/mm] $
Anhand [mm] p_i\lambda [/mm] in [mm] P(N_i=k)?
[/mm]
Also
$ [mm] {E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i{E}[N_i] [/mm]
[mm] =\sum_{i=1}^5ip_i\lambda [/mm] = V(N)
$ [mm] \operatorname{E}[N_i]=p_i\lambda=\operatorname{Var}[N_i]. [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Sa 06.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Also demnach verstehe ich das so.
> Man berechnet
> [mm]P(N_i=k) =\bruch{p_i^k\cdot{}\lambda^k}{k!}\cdot{}e^{-p_i\lambda}[/mm]
>
> und schließt daraus
> [mm]\operatorname{E}[N_i]=p_i\lambda=\operatorname{Var}[N_i].[/mm]
> Anhand [mm]p_i\lambda[/mm] in [mm]P(N_i=k)?[/mm]
>
> Also
> $
> [mm]{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5i{E}[N_i][/mm]
> [mm]=\sum_{i=1}^5ip_i\lambda[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber das ist nicht die Varianz:
[mm][mm] \operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5\operatorname{E}[iN_i]=\sum_{i=1}^5i^2\operatorname{E}[N_i]=\sum_{i=1}^5i^2p_i\lambda
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Ok verstehe Danke hab wieder was dazu gelernt :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 So 07.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Bin jetzt doch etwas verwirrt und da ich nichts vergleichbares im Netz finden kann bin ih mir nun nicht sicher wie ich auf die Varianz komme.
>Aber das ist nicht die Varianz:
>[mm]$ [mm] \operatorname{E}[N]=\operatorname{E}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5\operatorname{E}[iN_i]=\sum_{i=1}^5i^2\operatorname{E}[N_i]=\sum_{i=1}^5i^2p_i\lambda [/mm] $
Was meinst du nun damit ?
[mm] {E}[N]=\sum_{i=1}^5i^2p_i\lambda [/mm] und vorher [mm] {E}[N]=\sum_{i=1}^5ip_i\lambda
[/mm]
V(N)kann man unter anderem über
[mm] V(N)=E(N^2)-(E(N))^2
[/mm]
finden. Weiß zwar nicht wie ich es nutzen kann aber so könnte man es machen :).
Und zur
b) Sei $ [mm] \lambda [/mm] $ = 10. Geben Sie konkret die Wahrscheinlichkeit an, dass 2 Personen das Restaurantbesuchen.
$ [mm] P(N_i=k) =\bruch{p_i^k\cdot{}\lambda^k}{k!}\cdot{}e^{-p_i\lambda} [/mm] $
Also hier
$ [mm] P(N_i=2) =\bruch{0,2^2\cdot{}10^2}{2!}\cdot{}e^{-0,2*10} [/mm] $ = 0,270671
schönen Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 07.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Bin in die Cut-and-Paste-Falle getappt. Es muss heissen:
[mm] $\operatorname{Var}[N]=\operatorname{Var}[\sum_{i=1}^5iN_i]=\sum_{i=1}^5\operatorname{Var}[iN_i]=\sum_{i=1}^5i^2\operatorname{Var}[N_i]=\sum_{i=1}^5i^2p_i\lambda [/mm] $
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 So 07.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Ich habs mir schon gedacht aber sicher ist sicher :) Danke
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