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| Aufgabe | Zeigen Sie: Für eine Poisson verteilte Zufallsvariable [mm] $Y_\lambda$ [/mm] mit Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] gilt für [mm] $\lambda \to \infty$:
[/mm]
[mm] $\frac{Y_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\to [/mm] X$ in Verteilung,
wobei $X$ eine standardnomalverteilte Zufallsvariable ist. |
Ich weiß, dass
[mm] $Erwatrtungswer=\lambda$,
[/mm]
$Varianz = [mm] \lambda$.
[/mm]
Und der zentrale Grenzwertsatz besagt
[mm] $P(\frac{\sum^\lambda_{i=1}Y_i-\lambda^2}{\lambda}\leq x)\to \phi(X)$.
[/mm]
Ich komme hier leider nicht weiter. Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Do 19.06.2008 | | Autor: | luis52 |
> Zeigen Sie: Für eine Poisson verteilte Zufallsvariable
> [mm]Y_\lambda[/mm] mit Parameter [mm]\lambda[/mm] gilt für [mm]\lambda \to \infty[/mm]:
>
> [mm]\frac{Y_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\to X[/mm] in
> Verteilung,
>
> wobei [mm]X[/mm] eine standardnomalverteilte Zufallsvariable ist.
> Ich weiß, dass
>
> [mm]Erwatrtungswer=\lambda[/mm],
>
> [mm]Varianz = \lambda[/mm].
>
> Und der zentrale Grenzwertsatz besagt
>
> [mm]P(\frac{\sum^\lambda_{i=1}Y_i-\lambda^2}{\lambda}\leq x)\to \phi(X)[/mm].
>
> Ich komme hier leider nicht weiter. Hilfe!
Moin SorcererBln,
ich sehe nicht, wie man hier mit dem ZGS (den du anscheinend fehlerhaft formulierst; was ist [mm] $Y_i$?)
[/mm]
weiterkommen kann. Weisst du was eine momenterzeugende Funktion ist?
vg Luis
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Idee: Bestimme die Charakteristische Funktion der oberen Zufallsgröße und zeige, dass diese gegen die ch. Fkt der standartisiierten Normalverteilung konvergiert, also gegen [mm] $exp(-x^2/2)$.
[/mm]
[mm] $E(e^{Z_lambda})=0$, $E(e^{Z_lambda})^2=1-\lambda^2/\sqrt{\lambda}+\lambda$.
[/mm]
Dann ist mit Taylor
[mm] $\varphi_\lambda(x)=1-t^2/2\lambda(1-\lambda^2/\sqrt{\lambda}+\lambda)$.
[/mm]
Aber ich sehe nun nicht die gewünschte Konvergenz. Hat jemand eine Idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Idee: Bestimme die Charakteristische Funktion der oberen
> Zufallsgröße und zeige, dass diese gegen die ch. Fkt der
> standartisiierten Normalverteilung konvergiert, also gegen
> [mm]exp(-x^2/2)[/mm].
>
> [mm]E(e^{Z_\lambda})=0[/mm],
? Was soll das sein?
Die char. Funktion einer [mm] $Poi(\lambda)$-ZV [/mm] ist
[mm] $e^{\lambda(e^{ix}-1)}$
[/mm]
Aber hier wollen wir ja die char. Funktion von [mm] $\frac{Y-\lambda}{\sqrt{\lambda}}$
[/mm]
Dafür mußt Du schon die Reihe
[mm] $$E\left(e^{is\frac{Y-\lambda}{\sqrt{\lambda}}}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{is\frac{k-\lambda}{\sqrt{\lambda}}} [/mm] P(Y=k) $$
lösen.
> Dann ist mit Taylor
Taylor brauchst Du hier nicht. Hilft denk ich auch nicht wirklich. L'Hospital hingegen... =)
ciao
Stefan
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Also: Es sollte sein:
[mm] $Z_\lambda [/mm] = [mm] \frac{Y_\lambda-\lambda}{\sqrt{\lambda}}$.
[/mm]
Deinen Weg habe ich auch schon probiert. Ich weiß ja
[mm] $P(Y_\lambda=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$.
[/mm]
Das habe ich eingesetzt und erhalte
[mm] $e^{\lambda[ \exp(is/\lambda)-(1-is/\lambda)]}$,
[/mm]
aber ich sehe nicht, wieso das jetzt gegen [mm] $exp(s^2/2)$ [/mm] konvergieren sollte?
Wieso nimmst du eigentlich $P(Y=k)$ und nicht [mm] $P(Y=k+\lambda)$??
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Also: Es sollte sein:
>
> [mm]Z_\lambda = \frac{Y_\lambda-\lambda}{\sqrt{\lambda}}[/mm].
>
> Deinen Weg habe ich auch schon probiert. Ich weiß ja
>
> [mm]P(Y_\lambda=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}[/mm].
>
> Das habe ich eingesetzt und erhalte
>
> [mm]e^{\lambda[ \exp(is/\lambda)-(1-is/\lambda)]}[/mm],
fast, es sollte
[mm] $$e^{\lambda[ \exp(is/\sqrt{\lambda})-1-is/\sqrt{\lambda}]}$$
[/mm]
sein.
> aber ich sehe nicht, wieso das jetzt gegen [mm]exp(s^2/2)[/mm]
> konvergieren sollte?
L'Hospital, nur auf den Exponenten.
> Wieso nimmst du eigentlich [mm]P(Y=k)[/mm] und nicht
> [mm]P(Y=k+\lambda)[/mm]??
[mm] $E(g(X))=\sum_{k\in\IN_0}g(k)P(X=k)$
[/mm]
Für [mm] $\IN_0$ [/mm] wertige X.
Also $ [mm] E\left(e^{is\frac{Y-\lambda}{\sqrt{\lambda}}}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{is\frac{k-\lambda}{\sqrt{\lambda}}} [/mm] P(Y=k) $
Mit [mm] $g(x)=e^{is\frac{x-\lambda}{\sqrt{\lambda}}}$
[/mm]
(Allgemein: [mm] $E(g(X))=\int_{X(\Omega)}g\ dP\circ X^{-1}$)
[/mm]
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Vielen Dank, lieber Stefan - du bist brilliant.
Ich habe es dank deiner Hilfe geschafft und natürlich, indem ich 2 mal L'Hospital angewendet habe. 
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