Poissonsche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 So 19.06.2016 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Gegeben sei das Randwertproblem
[mm] \Delta [/mm] u = 0, für [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] < 1,
u(x,y) = [mm] \bruch{x}{y-\bruch{5}{4}}, [/mm] für [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 1
(i) Berechnen Sie mithilfe der Poissonschen Integralformel die Lösung u des folgenden RWPs an den Stellen [mm] (0,\bruch{1}{2}) [/mm] und (0,0). |
Habe jeweils Probleme beim Integrieren
Für den Punkt [mm] (0,\bruch{1}{2}):
[/mm]
[mm] u(\bruch{1}{2}e^{i\bruch{\pi}{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{cos(\nu)}{sin(\nu)-\bruch{5}{4}} \bruch{1-(\bruch{1}{2})^{2}}{1 - cos(\bruch{\pi}{2}-\nu)+(\bruch{1}{2})^{2}}d\nu}. [/mm] Nachm bisschen Umformen mit [mm] -cos(\bruch{\pi}{2}-\nu) [/mm] = [mm] sin(\nu) [/mm] ,3. binomischer Formel und [mm] cos^{2} [/mm] + [mm] sin^{2} [/mm] = 1 komme ich auf [mm] \to \bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{3cos(\nu)}{-4cos^{2}(\nu)-\bruch{9}{4}} d\nu} [/mm]
Für den Punkt (0,0):
[mm] u(0e^{i\phi}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{cos(\nu)}{sin(\nu)-\bruch{5}{4}} d\nu}
[/mm]
Könnt Ihr mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich jeweils weiter komme? Tu mich etwas schwer mit dem nächsten Schritt.
Beste Grüße, Tomi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Mo 20.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Nach gerechnet hab ich es nicht. Bei beiden Integralen hilft die Substitution
[mm] t=\sin(\nu)
[/mm]
weiter.
FRED
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