Poissonverteilung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mo 02.05.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Wir betrachten erneut die Poissonverteilung zum Parameter [mm] \lambda [/mm] > 0, also [mm] P_{n} [/mm] = [mm] e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{n}}{n!}. [/mm] Beweisen sie durch vollständige Induktion nach n [mm] \in \IN_{0} [/mm] die Identität
[mm] \summe_{k=0}^{n}{P_{k}}= \bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}
[/mm]
Hinweis. Partielle Integration. |
Hallo,
ich habe soweit die Induktion bis zu diesem Schritt angewandt:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}{P_{k}}=\summe_{k=0}^{n}{P_{k}}+P_{n+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}+e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
weiter habe ich die Partitielle Integration auf das Integral angewandt. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
1: [mm] \bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n+1}}{n+1}e^{-x}-\integral_{\lambda}^{\infty}{\bruch{x^{n+1}}{n+1}(-e^{-x}) dx}
[/mm]
[mm] 2:\bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx} [/mm] = [mm] x^{n}(-e^{-x})-\integral_{\lambda}^{\infty}{nx^{n-1}(-e^{-x}) dx}
[/mm]
Keine von beiden Möglichkeiten scheint mich zum Ergebnis zu führen. Dabei kann die Aufgabe nicht so schwer sein. Kann mir jemand sagen wie man weiter vorgehen soll.
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Huhu,
du denkst in die falsche Richtung.
Halten wir fest, was du bisher hast:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1}{P_{k}}=\summe_{k=0}^{n}{P_{k}}+P_{n+1} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}+e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] $
Ok, und da soll jetzt WAS rauskommen?
Und dieses letzte Gleichheitszeichen kannst du mit partieller Integration begründen 
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mo 02.05.2011 | | Autor: | folken |
Danke für die schnelle Antwort.
> Huhu,
>
> du denkst in die falsche Richtung.
>
> Halten wir fest, was du bisher hast:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}{P_{k}}=\summe_{k=0}^{n}{P_{k}}+P_{n+1}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}+e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
>
> Ok, und da soll jetzt WAS rauskommen?
Rauskommen soll doch:
[mm] \bruch{1}{(n+1)!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n+1}e^{-x} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] könnte man noch rausziehen. Aber was bringt uns das? Jetzt müsste man doch dennoch das Integral versuchen aufzulösen oder?
> Und dieses letzte Gleichheitszeichen kannst du mit
> partieller Integration begründen
>
> MFG;
> Gono.
>
>
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Huhu,
> Rauskommen soll doch:
>
> [mm]\bruch{1}{(n+1)!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n+1}e^{-x} dx}[/mm]
Korrekt, jetzt wenden wir einmal partielle Integration an und erhalten:
[mm] $\bruch{1}{(n+1)!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n+1}e^{-x} dx}$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{1}{(n+1)!}\left(\left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_\lambda^\infty + (n+1)\integral_{\lambda}^{\infty}x^ne^{-x}\right) [/mm] $
[mm] $=e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}x^ne^{-x} [/mm] $
Und das sagt dir was? 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mo 02.05.2011 | | Autor: | folken |
Achso..Danke jetzt versteh ich es!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten erneut die Poissonverteilung zum Parameter
> [mm]\lambda[/mm] > 0, also [mm]P_{n}[/mm] =
> [mm]e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{n}}{n!}.[/mm] Beweisen sie durch
> vollständige Induktion nach n [mm]\in \IN_{0}[/mm] die Identität
> [mm]\summe_{k=0}^{n}{P_{k}}= \bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}[/mm]
>
> Hinweis. Partielle Integration.
> Hallo,
>
> ich habe soweit die Induktion bis zu diesem Schritt
> angewandt:
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}{P_{k}}=\summe_{k=0}^{n}{P_{k}}+P_{n+1}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}+e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
>
> weiter habe ich die Partitielle Integration auf das
> Integral angewandt. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
> 1: [mm]\bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{x^{n+1}}{n+1}e^{-x}-\integral_{\lambda}^{\infty}{\bruch{x^{n+1}}{n+1}(-e^{-x}) dx}[/mm]
>
> [mm]2:\bruch{1}{n!}\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}[/mm]
> =
> [mm]x^{n}(-e^{-x})-\integral_{\lambda}^{\infty}{nx^{n-1}(-e^{-x}) dx}[/mm]
>
> Keine von beiden Möglichkeiten scheint mich zum Ergebnis
> zu führen.
Weil beide nicht stimmen.
Ich erhalte:
[mm] \integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}=[ \bruch{x^{n+1}}{n+1}e^{-x}]_{\lambda}^{\infty}-n*\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n}e^{-x} dx}+\integral_{\lambda}^{\infty}{x^{n+1}e^{-x} dx}
[/mm]
FRED
> Dabei kann die Aufgabe nicht so schwer sein.
> Kann mir jemand sagen wie man weiter vorgehen soll.
>
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