Poissonverteilung, Binomialver < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Satz: Für k fest, n-> [mm] \infty, [/mm] p->0, np= [mm] \lambda [/mm] >0 gilt
[mm] p_n [/mm] (k)= [mm] \vektor{n \\ k}p^k q^{n-k} [/mm] -> [mm] \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
[/mm]
wobei q= 1-p |
Beweis im Skript
[mm] \vektor{n \\ k}p^k q^{n-k} [/mm] = [mm] \frac{1}{k!} (np)^k [/mm] (1 - [mm] \frac{np}{n})^n \frac{n*(n-1)...(n-k+1)}{n^k} (1-p)^{-k}
[/mm]
-> [mm] \frac{1}{k!} \lambda^k e^{-\lambda}* [/mm] 1 * 1
Hallo meine Frage betrifft den Grenzübergang.
WIe kommt man auf [mm] e^{-\lambda} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^{\lambda}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sum_{s\ge 0} \frac{\lambda^s}{s!}} [/mm] im Grenzübergang??
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 So 21.04.2013 | | Autor: | valoo |
Hallo!
Eine alternative Definiton der Exponentialfunktion lautet doch:
[mm] exp(x):= \limes_{n\rightarrow\infty} ( 1 + \frac{x}{n} )^{n} [/mm]
somit geht dieses [mm] ( 1 - \frac{np}{n} )^{n} [/mm] gegen [mm] e^{-\lambda}
[/mm]
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