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Forum "Topologie und Geometrie" - Polar- in Kartes. Koordinaten
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Polar- in Kartes. Koordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 29.05.2012
Autor: Circus

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Polardarstellung

[mm] \rho (\phi)= \bruch{k}{1+\epsilon*\cos(\phi)}[/mm]

in den verschobenen Polarkoordinaten

[mm]x=\rho*\cos(\phi)+c[/mm] ; [mm]y=\rho*\sin(\phi)[/mm] (6)

zur Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten

[mm]\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]

führt. (Es gilt: [mm]c^2=a^2+b^2[/mm])

Hinweis:

Schreiben Sie die Ellipsengleichung in der Form

[mm] \rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm]

und führen Sie auf der linken und auf der rechten Seite die karteischen Koordinaten gemäß der Gleichung (6)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

1) habe die Gleichungen von (6) ein bisschen umgestellt:

[mm]x=\rho*\cos(\phi)+c[/mm] ; [mm]y=\rho*\sin(\phi)[/mm]

=>

[mm]\rho*\cos(\phi)=x-c[/mm] ; [mm]\rho=\bruch {y}{\sin(\phi)}[/mm]

dann in die Gleichung

[mm]\rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm] eingesetzt:

=>
[mm](\bruch {y}{\sin(\phi)})^2=[k-\epsilon*(x-c)}]^2[/mm]

2) k, [mm] \epsilon [/mm] und c ersetzen

[mm]c^2=a^2+b^2[/mm]
=>
[mm]c=(a^2+b^2)^{0,5}[/mm]

[mm]k=\bruch{b^2}{a}[/mm] (Formelsammlung)

[mm]\epsilon=\bruch{(a^2-b^2)^{0,5}}{a}[/mm] (Formelsammlung)

=>

[mm](\bruch {y}{\sin(\phi)})^2=[\bruch{b^2}{a}-\bruch{(a^2-b^2)^{0,5}}{a}*(x-(a^2+b^2)^{0,5}))}]^2[/mm]



Ab hier komme ich nicht wirklich weiter.

Ich habe zwar noch ein bisschen die Wurzeln ausmulitpliziert und da wo ich konnte zusammengefasst, aber das hat nichts erbracht außer Schreibarbeit - hätte jemand einen Hinweis/Tipp für mich?

Oder ist mein Ansatz schon verkehrt/fehlerhaft.

MfG

Circus



        
Bezug
Polar- in Kartes. Koordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Mi 30.05.2012
Autor: rainerS

Hallo Circus!

Erstmal herzlich [willkommenvh]

> Zeigen Sie, dass die Polardarstellung
>  
> [mm]\rho (\phi)= \bruch{k}{1+\epsilon*\cos(\phi)}[/mm]
>  
> in den verschobenen Polarkoordinaten
>  
> [mm]x=\rho*\cos(\phi)+c[/mm] ; [mm]y=\rho*\sin(\phi)[/mm] (6)
>  
> zur Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten
>  
> [mm]\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
>  
> führt. (Es gilt: [mm]c^2=a^2+b^2[/mm])
>  
> Hinweis:
>  
> Schreiben Sie die Ellipsengleichung in der Form
>  
> [mm]\rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm]
>  
> und führen Sie auf der linken und auf der rechten Seite
> die karteischen Koordinaten gemäß der Gleichung (6)
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> 1) habe die Gleichungen von (6) ein bisschen umgestellt:
>  
> [mm]x=\rho*\cos(\phi)+c[/mm] ; [mm]y=\rho*\sin(\phi)[/mm]
>  
> =>
>  
> [mm]\rho*\cos(\phi)=x-c[/mm] ; [mm]\rho=\bruch {y}{\sin(\phi)}[/mm]
>  
> dann in die Gleichung
>
> [mm]\rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm] eingesetzt:

Ich würde eher [mm] $\rho^2=(x-c)^2+y^2$ [/mm] benutzen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
        
Bezug
Polar- in Kartes. Koordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Do 31.05.2012
Autor: chrisno


> Hinweis:
>  
> Schreiben Sie die Ellipsengleichung in der Form
>  
> [mm]\rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm]

Du solltest diesen Hinweis ernst nehmen, und selbst versuchen, diese Form zu erreichen. Mir gelingt es nicht.
$ [mm] \rho (\phi)= \bruch{k}{1+\epsilon\cdot{}\cos(\phi)} [/mm] $
$ [mm] \rho (\phi) \cdot(1+\epsilon\cdot{}\cos(\phi)) [/mm] = k$
$ [mm] \rho^2 (\phi) \cdot(1+\epsilon\cdot{}\cos(\phi))^2 [/mm] = [mm] k^2$ [/mm]
$ [mm] \rho^2 (\phi) [/mm]  = [mm] k^2- 2\rho^2\epsilon\cdot{}\cos(\phi)+ \rho^2\epsilon^2\cdot{}\cos(\phi)^2$ [/mm]
Das soll das gleiche sein wie:
$ [mm] \rho^2 (\phi) [/mm]  = [mm] k^2- 2\rho\epsilon [/mm] k [mm] \cdot{}\cos(\phi)+ \rho^2\epsilon^2\cdot{}\cos(\phi)^2$ [/mm]
Das geht nur wenn [mm] $\rho \equiv [/mm] k$, was Unsinn ist.
Also, vergiss diesen Hinweis.


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