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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 01.08.2007 | | Autor: | neotrace |
| Aufgabe | man bestimme die Polardarstellung [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] von
z=1-i |
hallo forum
also ich komm da immer auf [mm] z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
das lösungsbuch sagt aber [mm] z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{7*\pi}{4}}
[/mm]
also ich hab r berechnet mit [mm] r=\wurzel{1^2+(-1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
das stimmt ja auch schonmal mit dem ergebnis überein.
aber wie bekomm ich jetzt [mm] \phi?
[/mm]
danke
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> man bestimme die Polardarstellung [mm]z=r*e^{i\phi}[/mm] von
> z=1-i
> hallo forum
> also ich komm da immer auf
> [mm]z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{\pi}{4}}[/mm]
> das lösungsbuch sagt aber
> [mm]z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{7*\pi}{4}}[/mm]
>
> also ich hab r berechnet mit [mm]r=\wurzel{1^2+(-1)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> das stimmt ja auch schonmal mit dem ergebnis überein.
> aber wie bekomm ich jetzt [mm]\varphi?[/mm]
Ist [mm] $z\in\IC\backslash\{0\}$, [/mm] dann ist [mm]\varphi=\tan^{-1}\frac{\Im(z)}{\Re(z)}[/mm], wobei [mm] $\Im(z)$ [/mm] der Imaginär-, [mm] $\Re(z)$ [/mm] der Realteil von $z$ ist. Vielleicht erscheint Dir diese Rechnung weniger rätselhaft, wenn Du $z$ einfach als Vektor im [mm] $\IR^2$ [/mm] auffasst und [mm] $\varphi$ [/mm] als dessen Steigungswinkel (Winkel bezüglich der $x$-Achse).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 01.08.2007 | | Autor: | neotrace |
ja schon klar.
ich weiß das [mm] cos(\phi)=\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] und
[mm] sin(\phi)=\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] also
[mm] tan(\phi)=\bruch{y}{x} [/mm]
wobei x= Realteil von z und y= Imaginärteil von z.
aber wenn ich dann den arctan drauf anwende bekomme ich [mm] \phi [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] und wie komme ich dann auf das ergebnis [mm] z=\wurzel{2}*e^{i\bruch{7*\pi}{4}}?
[/mm]
denk mal [mm] z=\wurzel{2}*e^{i(2\pi - \bruch{\pi}{4})}...ist [/mm] das richtig? ;)
gut, [mm] \phi [/mm] war jetzt einfach zu berechnen weil [mm] \tan(\phi)=-1 [/mm] , aber wasmacht man wenn auf der rechten seite ein "exotischerer" bruch steht und der taschenrechner(falls man ihn überhaupt benutzen darf) eine zahl mit vielen vielen nachkommastellen ausspuckt?
ich könnte doch aber auch [mm] \phi [/mm] durch [mm] \phi [/mm] = [mm] arccos(\bruch{1}{\wurzel{2}})=45°=\bruch{\pi}{4} [/mm] berechnen...aber da kommt was anderes raus als bei [mm] \phi [/mm] = [mm] arcsin(\bruch{-1}{\wurzel{2}})=-45°=-\bruch{\pi}{4}
[/mm]
ich bin grad irgendwie voll verwirrt...ist wahrscheinlich ein total dummer fehler oder etwas, was mir ins auge springen müsste aber ich verstehs grad überhaupt nicht...
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Genau!
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Gauß'schen Zahlenebene