Polare Zeichnen < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Do 25.04.2013 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | | Zeichnen Sie die Polare zu [mm] \{ x \in \IR^{2} : 0 \le x_{i} \le 1, i = 1, 2 \} [/mm] |
Hallo zusammen,
grundsätzlich komm ich eigentlich mit lineare Optimierung einigermaßen klar. Ich hab aber noch Probleme, die ganzen Ungleichungen und linearen Programme etc. in Zusammenhang mit Polyedern/Polytopen usw zu bringen.
Also mir ist schon klar, dass eine Menge P die ein Polyeder ist und konvex ist immer Lsg.raum eines Ungl.systems ist.
Aber so richtig krieg ich das noch nicht verknüpft. Kennt da vielleicht jemand eine gute Seite?
Und zu obiger Aufgabe im [mm] \IR^{2} [/mm] kann man konvexe Hülle, konische Hülle, ja noch gut zeichnen. Aber wie man die Polare zeichnet und den dualen Kegel, das raff ich noch nicht ganz. Wäre toll wenn mir da jemand helfen könnte!!
Lieben Gruß und vielen Dank,
cmueller
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> Zeichnen Sie die Polare zu [mm]\{ x \in \IR^{2} : 0 \le x_{i} \le 1\ ,\ i = 1, 2 \}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> grundsätzlich komm ich eigentlich mit lineare Optimierung
> einigermaßen klar. Ich hab aber noch Probleme, die ganzen
> Ungleichungen und linearen Programme etc. in Zusammenhang
> mit Polyedern/Polytopen usw zu bringen.
>
> Also mir ist schon klar, dass eine Menge P die ein Polyeder
> ist und konvex ist immer Lsg.raum eines Ungl.systems ist.
> Aber so richtig krieg ich das noch nicht verknüpft. Kennt
> da vielleicht jemand eine gute Seite?
>
> Und zu obiger Aufgabe im [mm]\IR^{2}[/mm] kann man konvexe Hülle,
> konische Hülle, ja noch gut zeichnen. Aber wie man die
> Polare zeichnet und den dualen Kegel, das raff ich noch
> nicht ganz. Wäre toll wenn mir da jemand helfen könnte!!
>
> Lieben Gruß und vielen Dank,
>
> cmueller
Hallo cmueller,
ich habe den Begriff "die Polare einer konvexen Punktenge"
zwar noch nie angetroffen und dazu nur kurz gegoogelt.
Man kann die gegebene Menge M (das abgeschlossene
Einheitsquadrat) natürlich auffassen als die Schnittmenge
von 4 (ebenen !) "Kegeln" (also rechtwinkligen Sektoren).
Für jeden einzelnen solchen rechtwinkligen "2D-Kegel"
ist der polare Kegel derjenige Sektor, der sich durch die
Punktspiegelung des gegebenen Sektors an dessen
Spitze ergibt.
Unter der "zu M polaren Punktmenge" könnte man also
allenfalls die Vereinigungsmenge der 4 entstehenden
"Aussenkegel" [mm] P_1 [/mm] , [mm] P_2 [/mm] , [mm] P_3 [/mm] , [mm] P_4 [/mm] an den 4 Ecken des
gegebenen Quadrates verstehen ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber wie gesagt: mir sind diese Begriffe neu, und
deshalb meine Angaben darüber ohne Gewähr ...
LG , Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Fr 26.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei $Q:= [mm] \{ x \in \IR^{2} : 0 \le x_{i} \le 1, i = 1, 2 \} [/mm] $
Für [mm] a=(a_1,a_2) \in \IR^2 [/mm] sei
[mm] f_a(x):=|a_1x_1+a_2x_2| [/mm] ( [mm] x=(x_1,x_2) \in \IR^2)
[/mm]
Die Polare von Q ist dann
[mm] \{a \in \IR^2: sup \{f_a(x): x \in Q\} \le 1 \}
[/mm]
FRED
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> Sei [mm]Q:= \{ x \in \IR^{2} : 0 \le x_{i} \le 1, i = 1, 2 \}[/mm]
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> Für [mm]a=(a_1,a_2) \in \IR^2[/mm] sei
>
> [mm]f_a(x):=|a_1x_1+a_2x_2|[/mm] ( [mm]x=(x_1,x_2) \in \IR^2)[/mm]
>
> Die Polare von Q ist dann
>
> [mm]\{a \in \IR^2: sup \{f_a(x): x \in Q\} \le 1 \}[/mm]
>
> FRED
Hallo Fred,
bist du dir sicher, dass in diesem Zusammenhang
(Operations Research , konvexe / duale / polare Kegel)
![[]](/images/popup.gif) polare Kegel
der von dir genannte Begriff der "polaren Menge"
polare Menge
wirklich passt ?
LG , Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Fr 26.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]Q:= \{ x \in \IR^{2} : 0 \le x_{i} \le 1, i = 1, 2 \}[/mm]
>
> >
> > Für [mm]a=(a_1,a_2) \in \IR^2[/mm] sei
> >
> > [mm]f_a(x):=|a_1x_1+a_2x_2|[/mm] ( [mm]x=(x_1,x_2) \in \IR^2)[/mm]
> >
> > Die Polare von Q ist dann
> >
> > [mm]\{a \in \IR^2: sup \{f_a(x): x \in Q\} \le 1 \}[/mm]
> >
> > FRED
>
>
> Hallo Fred,
>
> bist du dir sicher, dass in diesem Zusammenhang
> (Operations Research , konvexe / duale / polare Kegel)
>
> polare Kegel
>
> der von dir genannte Begriff der "polaren Menge"
> polare Menge
>
> wirklich passt ?
Hallo Al,
jetzt, wo Du es sagst, bin ich mir auch nicht sicher.
Gruß Fred
>
> LG , Al
>
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> Zeichnen Sie die Polare zu [mm]\{ x \in \IR^{2} : 0 \le x_{i} \le 1\ ,\ i = 1, 2 \}[/mm]
Hallo cmueller,
gib uns doch bitte mal noch die Definition von
"Polare" an, die hier zum Einsatz kommen soll.
Vielleicht auch noch einen Link zu einem ent-
sprechenden Lehrbuch oder Skript.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Sa 27.04.2013 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
danke für die Antwort-Diskussion.
Ein Tag kein Internet und schon ist man aufgeschmissen ;)
Also ich habe natürlich auch ein bisschen nach Polare gesucht, hatte das ganze auch erst als polare Menge aufgefasst... wurde dann auch unsicher.
Wir haben die Polare als dual zur konvexen Hülle definiert (Daher finde ich macht deine Zeichnung schon sinn Al-Chw. )
Nämlich so:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Würde das bedeuten: Ich suche die Menge der Vektoren, die multipliziert mit den Vektoren für die gilt 0 [mm] \le x_{i} \le [/mm] 1 ? also das Gleichungssystem
[mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} \le [/mm] 1
[mm] x_{2} [/mm] * [mm] y_{2} \le [/mm] 1
mit 0 [mm] \le x_{i} \le [/mm] 1
und ich suche die Menge der y Vektoren?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Wir haben die Polare als dual zur konvexen Hülle definiert
> (Daher finde ich macht deine Zeichnung schon Sinn Al-Chw. )
Ich habe aber trotzdem gemerkt, dass meine erste
Zeichnung nicht das ergibt, was nach der Definition
herauskommt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Würde das bedeuten: Ich suche die Menge der Vektoren, die
> multipliziert mit den Vektoren für die gilt [mm]0\le x_{i} \le\ 1\ ?[/mm]
> also das Gleichungssystem
> [mm]x_{1}[/mm] * [mm]y_{1} \le[/mm] 1
> [mm]x_{2}[/mm] * [mm]y_{2} \le[/mm] 1
> mit 0 [mm]\le x_{i} \le[/mm] 1
> und ich suche die Menge der y Vektoren?
Nein, es geht eigentlich um ein Ungleichungssystem,
das theoretisch aus unendlich vielen einzelnen
Ungleichungen der Form
$\ [mm] x_{1}\ [/mm] *\ [mm] y_{1}\ [/mm] +\ [mm] x_{2}\ [/mm] *\ [mm] y_{2}\ \le [/mm] 1$
besteht. Man kann es aber auf relativ wenige
Ungleichungen reduzieren, indem man die
Linearität nutzt.
Ich habe damit angefangen und war nach
einiger Zeit zu faul, alle nötigen Fallunter-
scheidungen durchzuführen.
So überließ ich schließlich die Arbeit einem
(wie immer selber gebastelten) Progrämmchen,
welches Lösungspunkte nach der MonteCarlo-
Methode sucht. Ergebnis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Einheitsquadrat Q ist schwarz umrandet;
die roten Punkte liegen in der "Polaren" [mm] Q^{pol} [/mm] .
Man kann aus der Zeichnung recht leicht eine
formale Beschreibung von [mm] Q^{pol} [/mm] ableiten,
welche mit 3 ganz einfachen Ungleichungen
auskommt. Zudem ist leicht zu sehen, dass [mm] Q^{pol}
[/mm]
offenbar wirklich konvex ist (was für die in meiner
ersten Zeichnung dargestellte Menge aus 4
disjunkten "Sektoren" offensichtlich nicht
zutrifft).
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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