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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Do 07.11.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius r=4 und dem Mittelpunkt M (1 / 2 / 3) und der Punkt P (-3 / -2 / -1).
Von P werden Tangenten an die Kugel gelegt.
a) Wie groß ist der Öffnungswinkel des Tangentialkegels?
b) In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte?
c) Wie lauten Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises?
Ergänzende Frage:
d) Kann man auch Berührpunkte ausrechnen? |
Moin Moin!
a) Den Winkel [mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] kann man berechnen mit [mm] sin(\bruch{\alpha}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{r}{|\overrightarrow{MP}|}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{MP} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM}
[/mm]
= [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -1} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ -4 \\ -4}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{MP}| [/mm] = [mm] \wurzel{48}
[/mm]
=> [mm] sin(\bruch{\alpha}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{4}{\wurzel{48}}
[/mm]
[mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] = 35,26° bzw. [mm] \alpha [/mm] = 70,53°
b) Die Polarebene kann man berechnen mit [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{m})*(\vec{p} [/mm] - [mm] \vec{m}) [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
( [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] ) * ( [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -1 } [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] ) = 16
-4x -4y -4z = -8 bzw.
x + y + z = 2
richtig?
c) Hier fangen die Probleme an.
Der Schnittkreismittelpunkt liegt auf der Geraden durch P und M.
richtig?
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{4 \\ 4 \\ 4} [/mm]
Einsetzen der Gerade in die Ebene ergibt M '.
-3 [mm] +4*\lambda [/mm] -2 [mm] +4*\lambda [/mm] -1 [mm] +4*\lambda [/mm] = 2
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] => M ' = [mm] \vektor{- 1/3 \\ 2/3 \\ 5/3}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Und wie ermittle ich dann den Radius des Schnittkreises?
d) Kann man auch Berührpunkte ausrechnen?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo hase-hh,
> Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius r=4 und dem
> Mittelpunkt M (1 / 2 / 3) und der Punkt P (-3 / -2 / -1).
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> Von P werden Tangenten an die Kugel gelegt.
>
> a) Wie groß ist der Öffnungswinkel des Tangentialkegels?
> b) In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte?
> c) Wie lauten Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises?
>
> Ergänzende Frage:
> d) Kann man auch Berührpunkte ausrechnen?
> Moin Moin!
>
> a) Den Winkel [mm]\bruch{\alpha}{2}[/mm] kann man berechnen mit
> [mm]sin(\bruch{\alpha}{2})[/mm] = [mm]\bruch{r}{|\overrightarrow{MP}|}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{MP}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] -
> [mm]\overrightarrow{OM}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ -1}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] =
> [mm]\vektor{-4 \\ -4 \\ -4}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{MP}|[/mm] = [mm]\wurzel{48}[/mm]
>
> => [mm]sin(\bruch{\alpha}{2})[/mm] = [mm]\bruch{4}{\wurzel{48}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\alpha}{2}[/mm] = 35,26° bzw. [mm]\alpha[/mm] = 70,53°
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> b) Die Polarebene kann man berechnen mit [mm](\vec{x}[/mm] -
> [mm]\vec{m})*(\vec{p}[/mm] - [mm]\vec{m})[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
>
> ( [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] ) * (
> [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ -1 }[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] ) = 16
>
> -4x -4y -4z = -8 bzw.
>
> x + y + z = 2
>
> richtig?
>
> c) Hier fangen die Probleme an.
>
> Der Schnittkreismittelpunkt liegt auf der Geraden durch P
> und M.
>
> richtig?
>
Ja.
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ -1}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{4 \\ 4 \\ 4}[/mm]
>
> Einsetzen der Gerade in die Ebene ergibt M '.
>
>
> -3 [mm]+4*\lambda[/mm] -2 [mm]+4*\lambda[/mm] -1 [mm]+4*\lambda[/mm] = 2
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] => M ' = [mm]\vektor{- 1/3 \\ 2/3 \\ 5/3}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
Ja.
>
> Und wie ermittle ich dann den Radius des Schnittkreises?
>
Der Radius des Schnittkreises ergibt sich doch zu:
[mm]r_{Schnittkreis}=\wurzel{r^{2}-\vmat{MM'}^{2}[/mm]
>
> d) Kann man auch Berührpunkte ausrechnen?
>
Die Gleichung des Schnittkreises lautet dann:
[mm]\vec{x}=\overrightarrow{OM'}+r_{Schnittkreis}*\cos\left(t\right)*\overrightarrow{n_{1}}+r_{Schnittkreis}*\sin\left(t\right)*\overrightarrow{n_{2}}}}[/mm]
, wobei [mm]\vmat{\overrightarrow{n_{1}}}=\vmat{\overrightarrow{n_{2}}}=1[/mm]
und [mm]\overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{n_{2}}[/mm] sind.
>
> Danke für eure Hilfe!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Do 07.11.2013 | | Autor: | hase-hh |
Danke!
Schnittkreis:
M ' ( - 1/3 / 2/3 / 5/3 ) und M ( 1 / 2 / 3 )
[mm] \overrightarrow{MM '} [/mm] = [mm] \vektor{- 1/3 \\ 2/3 \\ 5/3 } [/mm] - [mm] \vektor{ 1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{MM '} [/mm] = [mm] \vektor{- 4/3 \\ - 4/3 \\ - 4/3 }
[/mm]
| [mm] \overrightarrow{MM '} [/mm] | = [mm] \wurzel{\bruch{48}{9}} \approx [/mm] 2,31
Schnittkreisradius
[mm] (r')^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - | [mm] \overrightarrow{MM '} |^2
[/mm]
[mm] (r')^2 [/mm] = 16 - [mm] \bruch{48}{9}
[/mm]
[mm] (r')^2 [/mm] = [mm] \bruch{32}{3}
[/mm]
r ' [mm] \approx [/mm] 3, 27
Kreisgleichung
k: (x + [mm] \bruch{1}{3})^2 [/mm] + (y - [mm] \bruch{2}{3})^2 [/mm] + (z - [mm] \bruch{5}{3})^2 [/mm] = [mm] \bruch{32}{3}
[/mm]
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